Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Обратная матрица





Утверждение. Пусть А - (т,п)- матрица, В - (п,k)- матрица. Тогда (АВ) t = В tА t.

Доказательство. Заметим, что произведение ВtАt определено, так как В t - (k,п)- матрица, а А t - (п,т)- матрица. Кроме того (АВ) t и В tА t – матрицы одного типа.

Очевидно, (i,j)- й элемент матрицы (АВ)t равен ((АВ)t)i,j= =(АВ)j,i = Аj×Вi = (j-я строка матрицы А)×(i-й столбец матрицы В) = (В t)i×(А t)j = (i-я строка матрицы В t)×(j-й столбец матрицы А t) = (В tА t)i,j.

ÿ

В 8.4 мы доказали, что если левая и правая обратные матрицы для (п,п)- матрицы А существуют, то они совпадают.

Теорема. А-1 $ Û |A| ¹ 0.

Доказательство. Þ. Пусть А-1= В $. Тогда АВ = Е Þ | АВ| = | А||В| = |E| = 1 Þ |A| ¹ 0.

Ü. Пусть |A| ¹ 0. Найдем правую обратную матрицу Х такую, что АХ = Е. Столбцы матрицы Х обозначим Х1, Х2,…,Хп, а столбцы матрицы Е обозначим Е1, Е2,…,Еп. Тогда из уравнения АХ = Е, записывая матрицы X и E через столбцы, получим уравнение А×(Х1, Х2,…,Хп) = (Е1, Е2,…,Еп), или

(А×Х1, А×Х2,…, А×Хп) = (Е1, Е2,…,Еп) Þ А×Х i = Е i " i. Так как |A| ¹ 0, то по правилу Крамера решение Х i " i существует и единственно. Таким образом, доказано, что правая обратная матрица для А существует и единственна. Аналогично можно доказывать существование левой обратной матрицы. Но можно поступить иначе. Так как |A t| = |A| ¹ 0, то для At по доказанному существует правая обратная матрица Y, то есть AtY = Е Þ (AtY) t = Е t= Е Þ Y tAtt= Е Þ Y tA= Е Þ Y t левая обратная матрица для А.

ÿ

Далее мы найдем, какой вид имеет обратная матрица.

Рассмотрим уравнение для i- го столбца обратной матрицы А×Х i = Е i из доказательства предыдущей теоремы. Так как Е i= - здесь 1 находится на i- м месте, Х i = , то по правилу Крамера хki = Dk / |A|, k = 1,…,п, где Dk - определитель, полученный из определителя |A| заменой k- го столбца на Еi. Из разложения Dk по k- му столбцу получим, что Dkik – алгебраическое дополнение к (i,k)- му элементу в |A|. Значит, хki = Аik/|A|, i, k = 1,…,п. Матрица А* = (aki), где

aki = Аik, называется присоединенной матрицей к А. Таким образом, нами доказана

Теорема. Если |A| ¹ 0, то А-1 $, и А-1=(1/|A|)×А*.

Упражнение. Проверить, что А×А*=А*× А = |A|×E при любом |A|.

Date: 2015-09-25; view: 305; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию