Определения, примеры

1. Алгебраической п-арной операцией (или операцией арности п) на множестве А называется отображение w: А^п® А. При п = 1 операция называется унарной, при п = 2 операция называется бинарной, при п = 3 – тернарной. При п = 0 операция называется нульарной. Нульарная операция – это функция со значениями в А, которая не зависит ни от каких аргументов. Такими функциями являются константы. Поэтому по определению нульарная операция w на А – это фиксация в А некоторого элемента a_w.

2. Универсальной алгеброй называется пара <A,W>, где А - некоторое непустое множество, называемое носителем универсальной алгебры, а W - некоторое множество операций на А различной арности. Когда ясно, какое множество W имеется в виду, универсальной алгеброй называют сам носитель А.

3. Полугруппой называется универсальная алгебра с одной бинарной ассоциативной операцией *. То есть W = { * }, и

<P, * >– полугруппа, если " х₁, х₂, х₃ÎР (х₁*х₂)*х₃= х₁*(х₂*х₃).

Утверждение. Если * - ассоциативная операция, то ре­зультат последовательного применения этой операции к эле­ментам х₁, х₂,…, х_п Î Р (которые не обязательно все раз­личны) не зависит от расстановки скобок, то есть не зависит от порядка выполнения операций и, значит, скобки можно не ставить совсем.

Доказательство. Выражение, содержащее х₁, х₂,…, х_п и операции * с произвольной расстановкой скобок, имеющей смысл, будем называть словом, а п будем называть длиной слова. Будем называть расстановку скобок вида (…((х₁*х₂)*х₃)…*х_п) правильной, а соответствующее слово - правильным. При правильной расстановке скобок операции выполняются над элементами слева направо по порядку – вначале самая левая, затем следующая и т.д.

Покажем, что при любой расстановке скобок результат выполнения операций будет тот же, что и при правильной расстановке скобок.

Докажем утверждение индукцией по длине слова п.

При п = 3 утверждение означает ассоциативность опера­ции и выполняется по определению.

Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п. Рассмотрим произвольное слово w длины п и последнюю по порядку выполнения операцию в w над подсловами w₁ и w₂: w = w₁*w₂. Так как длина w₁ меньше п, то по предположению индукции можно считать, что расстановка скобок в w₁ - пра­вильная. а) Если длина w₂ равна 1, то расстановка скобок в w правильная. б) Если длина w₂ больше 1, то опять по предпо­ложению индукции можно считать, что расстановка скобок в w₂ правильная, и w₂=w₃*х_п. Тогда w = w₁*(w₃*х_п)=(w₁*w₃)*х_п, и слово w₁* w₃ можно по предположению индукции заменить на правильное слово w₄. Тогда и w = w₄* х_п – правильное.



4. Моноидом называется полугруппа <М,W> с операцией *,

в которой существует нейтральный элемент e относительно

операции *, то есть элемент e такой, что e* х= х*e= х " хÎ М. Таким образом, для моноида множество операций W ={*,w_e }, где w_e - нульарная операция, фиксация в М элемента e.

5. Группой <G,W> называется моноид, в котором "gÎG существует обратный элемент, то есть такой элемент g¢Î G, что g*g¢ = g¢*g =e. Обратный элемент для g обозначается g ^-1. Ввиду важности понятия группы дадим определение группы ещё раз.

Определение. Множество G называется группой, если

I. на множестве G определена бинарная операция * и

II. выполнены свойства

1. (g₁*g₂)*g₃= g₁*(g₂*g₃) " g₁, g₂, g₃Î G (ассоциативность)

2. $ eÎ G такой, что e*g = g*e = g "gÎG. Элемент e называется нейтральным элементов в G или нейтралом.

3. "gÎG $ g¢Î G такой, что g*g¢ = g¢*g =e. Элемент g¢ называется обратным для g и обозначается g ^-1.

Легко видеть, что для группы множество операций

W = {*,w_e, (.)^-1 }.

Группа называется коммутативной (или абелевой), если

g₁* g₂ = g₂* g₁ " g₁, g₂ Î G.

6. Ассоциативным, коммутативным, унитарным кольцом (АКУ-кольцом) <K,W> назы­вается универсальная алгебра с W = {+, ×, -(.), 0_K, 1_K}, где «+» (сложение) и «×» (умножение) - бинарные операции, -(.) - унарная операция, и 0_K, 1_K - нуль­ар­ные операции, удовлетворяющие усло­виям:

1. <K, +, -(), 0_K > - абелева группа (аддитивная группа

кольца – коммутативная).

2. <K, ×, 1_K > - коммутативный моноид (мультиплика-

тивный моноид кольца – коммутативный).

3. Операции сложения и умножения связаны условиями

дистрибутивности:

(a + b) ·c = a·c + b·c, c·(a+b) = c·a + c·b " a, b, с Î K. Можно дать следующее эквивалентное предыдущему

более подробное

Определение. Множество K называется АКУ– коль­цом,

если

I. на K заданы операции «+» (сложение) и «·» (умножение), и

II. для этих операций выполнены свойства

1. (a + b) + c = a + (b+ c) " a, b, с Î K,

2. $ элемент 0_K Î K такой, что 0_K + a = a+0_K = a " aÎ K,

0_K называется нейтральным элементом по сложению в K (или нулевым элементом),

3. " aÎ K $ элемент - aÎ K такой, что

( - a) + a = a + ( - a) = 0_K. - a называется элементом, противо­положным к a,

4. a + b = b + a " a, b Î K,

5. (a× b)× c =a× (b× c) " a, b, с Î K,

6. $ элемент 1_K Î K такой, что 1_K · a = a·1_K = a " aÎ K,

1_K называется нейтральным элементом по умножению в K (или единичным элементом),

8. a× b = b× a " a, b Î K,

9. (a + b) ·c = a·c + b·c, c·(a+b) = c·a + c·b " a, b, с Î K.

АКУ-кольцо называется полем, если выполнено дополни­тельное свойство

7. " aÎ K \ {0_K} $ элемент a¢ÎK такой, что a¢×a= a×a¢ = 1_K .

a¢ называется элементом, обратным к a, и обозначается a ^-1.

Если не выполняется свойство 5, то кольцо называется неассоциативным, если не выполняется свойство 6, то кольцо называется неунитарным, если не выполняется свойство 8, то кольцо называется некоммутативным.

Далее, если не оговорено противное, мы будем рассмат­ривать ассоциативные, унитарные кольца (АУ-кольца). Про­изведение элементов a и b, как обычно, мы будем обозначать ab (без точки), 0_K и 1_K, если это не вызовет недоразумений, будем обозначать 0 и 1 соответственно. Называя кольцо, бу­дем указывать только носитель K и бинарные операции, либо только носитель, если ясно, какие операции имеются в виду.