Теорема Лапласа

|A| = , (5.2)

где i₁< i₂ <…< i_p – (переменные) номера всевозможных строк, по которым ведет­ся суммирование, i_p+1< i_p+2 <…< i_n - номера дополнительных строк.

Доказательство. Очевидно, сумма в теореме Лапласа состоит из слагаемых. По теореме о полном разложении определителя минор содержит р! слагаемых, а минор содержит (п – р)! слагаемых. Если все эти слагаемые перемножить в каждом из произведений миноров, то получим всего × р!×(п – р)! = п! слагаемых – ровно столько же, сколько содержится в теореме о полном разложении определителя |A|. Кроме того, после перемножения все полученные слагаемые – это одночлены, множителями которых являются элементы матрицы А, выбранные по одному из каждого столбца с номерами k₁, k₂ ,…, k_p и с номерами k_p+1, k_p+2,…, k_n, то есть элементы матрицы А, выбранные по одному из всех столбцов, и аналогично по одному из всех строк. Это значит, что 1) среди этих одночленов нет подобных членов, и 2) эти одночлены в точности такие же, как одночлены, которые получаются при разложении |A| по теореме о полном разложении определителя. Последнее, что осталось проверить – это то, что все эти одночлены в правой части равенства (5.2) имеют такие же знаки, как и одночлены в разложении определителя |A|, или, как мы будем говорить – правильные знаки.

Лемма. Пусть k₁=1, k₂ =2,…, k_p= р, и, следовательно,

k_p+1= р+1, k_p+2=р+2,…,k_n=п. Запишем правую часть равенства (5.2) в виде + все остальные слагаемые. Докажем, что все одночлены из имеют правильные знаки.

Доказательство леммы. Произвольный одночлен из имеет вид

, где

s₁= , e(s₁)= (- 1)^r, s₂= , e(s₂) = (- 1)^s, r – число инверсий подстановки s₁, s - число инверсий подстановки s₂. Таким образом, в правой части формулы (5.2) одночлен имеет знак (- 1)^r+s. А в левой части формулы (5.2) в разложении |A| одночлен имеет знак

e(s)= (- 1)^t, где

s = , а t - число инверсий подстановки s. Но, очевидно, t = r + s, так как у подстановки s инверсии образуют лишь элементы j₁, j₂,…, j_p между собой и элементы j_р+1, j_р+2,…, j_п между собой, а между элементами из подмножеств j₁, j₂,…, j_p и j_р+1, j_р+2,…, j_п инверсий нет, так все элементы второго подмножества больше элементов первого подмножества и расположены правее.

Таким образом, в правой части формулы (5.2) все одночлены из имеют правильные знаки.

Лемма доказана.

Продолжим доказательство теоремы. Докажем теперь, что все одночлены в (5.2) из слагаемого

имеют правильные знаки. В матрице A переставим k₁- й столбец на 1-е место, меняя местами его каждый раз с соседними предыдущими столбцами, за (k₁–1) шагов; затем k₂- й столбец на 2-е место за (k₂–2) шагов и т.д.; и наконец, k_р- й столбец на р -е место за (k_р–р) шагов. После этого столбцы с номерами k_p+1, k_p+2,…,k_n займут в матрице места с номерами р +1, р +2,…,п. Теперь такую же процедуру проделаем со строками матрицы А: строки с номерами i₁, i₂,…, i_p переставим на 1-е места за (i₁ – 1)+(i₂ - 2)+ +…+(i_p – р) шагов. После этого строки с номерами i_р+1, i_р+2,…,i_п займут места с номерами р+1, р +2,…,п. Полученную матрицу обозначим А¢. Её определитель

|A¢| = |A|. По лемме все одночлены из для |A¢| имеют правильные знаки. Но |A|= |A¢|, = ,

= , и значит, все одночлены из

имеют правильные

знаки для |A|.