Розрахунок плоских ферм

5.1 Основні поняття та визначення

Фермою називається геометрично незмінна шарнірно-стержнева конструкція (рисунок 25).

Ферма називається плоскою, якщо всі стержні ферми лежать в одній площині (рисунок 25).

Визначеність або стійкість ферми відображає залежність кількості вузлів і стержнів ферми:

- - ферма визначена, стійка;

- > - ферма має зайві стержні та є невизначеною;

- < - ферма нестійка, ферма є механізмом.

Рисунок 25

При розрахунку ферми тертям у вузлах та вагою стержнів нехтують або розподіляють вагу стержнів по вузлах. Усі зовнішні навантаження (сили) до ферми прикладають тільки у вузлах, тому всі стержні ферми відчувають або стиснення, або розтягнення.

Розрахунок ферми зводиться до визначення опорних реакцій та зусиль у її стержнях.

Для визначення опорних реакцій складають та розв’язують 3 рівняння рівноваги, вважаючи ферму абсолютно твердим тілом під дією відомих зовнішніх навантажень (активних сил) та невідомих реакцій опор (реактивних сил).

Для визначення зусиль у стержнях ферм існує 2 методи.

5.2 Метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів полягає в тому, що уявно вирізають вузли ферми, прикладаючи до них відповідні зовнішні сили, реакції опор та реакції стержнів, і складають рівняння рівноваги сил, прикладених до кожного вузла. Вирізається вузол з двома невідомими зусиллями, тому що в кожному вузлі складається збіжна система сил, відповідно складають 2 рівняння рівноваги у вигляді рівнянь (5) = 0, = 0.

Умовно припускають, що всі стержні розтягнуті (реакції стержнів спрямовані від вузлів).

Леми про нульові стержні

Рисунок 26

Лема 2 Якщо в ненавантаженому вузлі плоскої ферми збігаються три стержні, два з яких спрямовані вздовж одної прямої, то зусилля у третьому стержні дорівнюють нулю, а зусилля двох перших рівні між

собою (рисунок 27) = - , =0. Рисунок 27

Лема 3 Якщо у вузлі плоскої ферми збігаються два стержні і до вузла прикладена зовнішня сила, лінія дії якої співпадає з віссю одного зі стержнів, то зусилля у цьому стержні дорівнює за модулем прикладеній силі, а зусилля у другому стержні дорівнює нулю (рисунок 28) = , =0.

Рисунок 28

5.3 Метод Ріттера (метод перерізу)

Метод Ріттера полягає в тому, що ферму поділяють на дві частини перерізом, який проходить через три стержні, в яких потрібно визначити зусилля, і розглядають рівновагу однієї з частин. Дію відкинутої частини замінюють відповідними силами, які спрямовують вздовж розрізаних стержнів від вузлів.

Потім складають рівняння рівноваги у вигляді рівнянь(20), (21) або (22),обираючи центри моментів (або вісь проекцій) так, щоб у кожному рівнянні було тільки одне невідоме зусилля. Центром моментів (точкою Ріттера) обирають точку для кожного з трьох перерізаних стержнів, окремо таку, щоб вона була точкою перетину двох інших стержнів даного перерізу (відносно неї складають рівняння суми моментів обраної частини ферми). У випадку, коли стержні не мають точки перетину (є паралельними), складається рівняння рівноваги у вигляді суми проекцій всіх сил обраної частини ферми на вісь, перпендикулярну цим стержням.

6 Рівновага системи тіл

Статично визначені та статично невизначені системи

Статичні розрахунки конструкцій, складених із системи тіл, поєднаних зв’язками, потребують визначення умов рівноваги кожного тіла конструкції та складеної конструкції в цілому.

Сили взаємодії між тілами даної конструкції називають внутрішніми реакціями.

Зовнішніми зв’язками називаються зв’язки, що з’єднують дану конструкцію з тілами, які до неї не входять (наприклад, з опорами).

На основі принципу твердіння система сил, що діють на конструкцію, повинна при рівновазі відповідати умовам рівноваги твердого тіла. Для розв’язання такої задачі необхідно додатково розглянути рівновагу часток конструкції, розглядаючи їх як вільні тіла. Розділення (перерізи) виконують за аксіомою про рівновагу двох сил: реакції внутрішніх зв’язків будуть дорівнювати один одному за модулем та протилежними за напрямком вздовж одної лінії.

Умови рівноваги складеної конструкції визначають рівняннями рівноваги. Якщо конструкція складається із n тіл, на кожне з яких діє довільна плоска система сил, то можна скласти 3 n рівнянь рівноваги.

Рівняння рівноваги – це умови рівноваги, в які входять відомі активні сили і невідомі реакції зв’язків, тобто аналітичні умови рівноваги даної системи сил.

Застосовуючи метод перерізу, розглядають рівновагу окремих тіл або груп системи і при цьому дію відкинутих сил замінюють відповідними реакціями зв’язку, які стають зовнішніми силами і входять до рівнянь рівноваги.

Задача називається статично визначеною, якщо число невідомих реакцій зв’язків дорівнює числу незалежних рівнянь рівноваги.

Якщо для даної конструкції число всіх реакцій (невідомих) буде більшим за кількість рівнянь, в які входять реакції, то конструкція буде статично невизначеною.

7 Рівновага при наявності сил тертя

У залежності від взаємних рухів тіл тертя між твердими тілами буває трьох видів:

1 Якщо відносна швидкість точок дотику тіл, що контактують, не дорівнює нулю, то виникає тертя ковзання.

2 Якщо відносна швидкість точок дотику тіл, що контактують, дорівнює нулю і має місце кочення без ковзання, то виникає тертя кочення.

3 Існує ще тертя вертіння.