Методические указания. Для выполнения данного задания внимательно изучите приведенные ниже примеры с подробными решениями, а затем выполните аналогичные практические задания

Для выполнения данного задания внимательно изучите приведенные ниже примеры с подробными решениями, а затем выполните аналогичные практические задания.

ПРИМЕР 1:. Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными . Решение: Произведём разделение переменных: (3y2 + 1)dy = 2xdx.Проинтегрируем левую и правую часть. 3 + = 2 .3 + y + C = 2 , y3 + y + C = x2, или x = .3yy' = x. Запишем уравнение в виде: 3y = x и произведём замену переменных: 3ydy = xdx, тогда 3 = 3 = + C/2 или 3y2 = x2 + C, тогда y = .

ПРИМЕР 2:

Найти решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка

(2x – y)dx + (2y – x)dy = 0. Разрешим уравнение относительно dy/dx:

y' = = - , поделив числитель и знаменатель правой части на х, получим:

y' = - , т. е. у' есть функция отношения у/х. Это означает, что данное уравнение однородное. Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y' = xdu/dx + u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:

x + u = ; x = - u = = , = - du = - . Проинтегрируем это уравнение:

ln = 2 - + lnC.

ln = 2(u – ln(u + 1)) – ln(u + 1) = 2u – l-2ln(u + 1) – ln(u + 1) = 2u – 3 ln(u + 1),

ln + ln(u + 1)3 = 2u, ln (u + 1)3 = 2u, (u + 1)3 = e2u, и окончательно получаем решение: ( + 1)3 = exp (. xdy – ydx = ydy, (x – y)dy = ydx y = .

Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y' = xdu/dx + u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:

x + u = ; x = - u = = , = - du = - . Проинтегрируем это уравнение:

ln = - + lnC, ln = ln(2u - 1) – u - ln(2u – 1) = - u, окончательно получаем:

x = Ce-u = Ce-y/x.

ПРИМЕР 3:. Найти решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

y - y ctg x = 2x sin x. Положим y = uv, тогда y' = u'v + uv' и данное уравнение принимает вид: u'v + uv' - uv ctg x = 2x sin x, u'v + u(v' – v ctg x) = 2x sin x.

Решая уравнение v' – v ctg x = 0, получим его простейшее частное решение:

= v ctg x; = ctg x dx; ln = ln ; откуда v = sin x.

Подставляя v в исходное уравнение получаем уравнение: u sin x = 2x sin x, из которого находим u u' = 2x, следовательно du = 2xdx u = x2 +C.

Итак, искомое решение y = (x2 + C) sin x, y' + 3y tg 3x = sin 6x, y(0) = 1/3.

Положим y = uv, тогда y' = u'v + uv' и данное уравнение принимает вид:

u'v + uv' + 3uv tg 3x = sin 6x, u'v + u(v' + 3v tg 3x) = sin 6x.

Решая уравнение v' + 3v tg 3x = 0, получим его простейшее частное решение:

= 3v tg x; = 3tg 3x dx; ln = - ln ; откуда v = 1/cos 3x.Подставляя v в исходное уравнение получаем уравнение: u /cos 3x = sin 6x, из которого находим u

= , u = - – + C, и окончательно получим решение

y = uv = - ( + C). Найдём постоянную С, согласно заданным начальным условиям у(0) = 1/3, 1/3 = - ( + C) = - 4/18 - C, C = - 1/3 - 4/18 = - 10/18 = - 5/9. Получаем решение:

у = - ( - 5/9) = - () = - .

ПРИМЕР 4: Проинтегрировать следующие линейные неоднородные уравнения

y'' + y' – 6y = 0

Запишем характеристическое уравнение. Для этого заменим функцию у и её производные соответствующими степенями λ: λ2 + λ - 6 = 0

откуда λ1 = - 3 и λ2 = 2. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

у = С1е^-3х + С2е^2х.

ПРИМЕР 5: Найти общее решение уравнения однородного уравнения: у'' + 2у' + 5y = 0.

Решая отвечающее ему характеристическое уравнение λ2 + 2λ + 5 = 0, получаем комплексные корни λ₁ = - 1 – 2i; λ₂ = - 1 + 2i, следовательно, у = e^-х(C₁ cos x + C₂ sin 2x).

Форма отчетности

Выполненные задания оформить по одному из трёх вариантов:

1) Напечатать в программе MICROSOFT WORD (кегль - 14, интервал – 1,5; шрифт - Times New Roman; поля – 1,2,1,1; нумерация страниц). Сохранить файл под своей фамилией и сдать электронную версию преподавателю на носителе. Распечатать на листах формата А4.

2) Письменно на листах формата А4, с одной стороны, ручкой синего или чёрного цвета.

3) Обычный текст распечатать на листах формата А4, а математический текст и рисунки письменно от руки также на листах А4.

Во всех трех вариантах оформить титульный лист (Приложение 1), работу вложить в файл и сдать в назначенный срок.

Рекомендуемая литература:

1. Баврин И.И. Высшая математика.- М.: АСАDEMA,2008.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие, 10-е изд. – М.: Высшая школа, 2008.

3. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. - М.: Наука,2008.

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Рост книга, 2009.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.: Высшая школа, 2008.

6. С.Г. Григорьев, С.В.Задулина. Математика.-М.: АСАDEMA,2008.

7. Дадаян А.А. Сборник задач по математике.-М.: ФОРУМ-ИНФРА-М,2009.

8. Дадаян А.А. Математика.-М.: ФОРУМ-ИНФРА-М,2009.

9. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – С-Пб.: Лань, 2010.

10. Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: В.Ш., 2009.

11. Щипачев В.С. Задачи по высшей математике. - М.: В.Ш., 2008.

12. INTERNET

Критерии оценивания работы:

Каждое выполненное задание теоретического и практического блоков самостоятельной работы оценивается в баллах по 5-бальной системе. Учитывается полнота выполнения и объём, грамотность, научность, последовательность и аккуратность оформления. Затем выставляется общая (усреднённая) оценка за всю работу в целом. Максимальное количество баллов по данной работе 10. Итоговая оценка за работу: «5»- 10 баллов, «4» - (7-9) баллов, «3» - (5-6) баллов. Оценка выставляется в журнал для учёта самостоятельных работ. Каждая работа должна быть сдана в строго установленные строки, в противном случае преподаватель имеет право снизить оценку, а при её невыполнении поставить неудовлетворительную оценку.

Приложение 1

Дисциплина: МАТЕМАТИКА