Выявление основной тенденции ряда динамики

Уровни ряда динамики формируются под влиянием многих факторов, каждый из которых определяет соответствующую составляющую ряда. При анализе временных рядов выделяют следующие его составляющие:

· тренд - основная тенденция развития динамического ряда (долговременное его изменение);

· сезонные (циклические) колебания, зависящие от времени года (например, при продаже мороженого);

· остаточные или случайные колебания, определяемые несистематическими, носящими непредсказуемый характер, причинами и вызывающие колебания уровней относительно тренда;

Наиболее простым способом выделения тренда является метод укрупнения интервалов. Он может применяться только к интервальным рядам абсолютных величин.

При использовании средней переменной укрупнение интервала обычно начинают с наименьшего возможного, т.е. с интервала, объединяющего два периода. Если в этом случае тенденция развития четко не проявляется, переходят к следующему возможному интервалу, объединяющему три периода, осуществляя расчет средних для укрупненных интервалов по формулам простой средней арифметической:

,

где уровни исходного ряда динамики.

Выявление тренда может осуществляться также методом скользящей средней. Скользящая средняя – подвижная динамическая средняя, которая исчисляется по ряду при последовательном передвижении на один интервал, т.е. сначала вычисляют средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго. На практике удобнее использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине периода скольжения. Так, скользящие средние с продолжительностью периода, равной трем, получаются следующие:

Полученные средние приписываются к соответствующему срединному интервалу – второму, третьему и т.д.

Погашение колебаний величин индивидуальных уровней ряда динамики, обеспечиваемое методом скользящей средней, называется сглаживанием динамического ряда.

Заметим, что сглаженный ряд укорачивается по сравнению с фактическим на члена с одного и другого конца, где период скользящей средней.

Рассмотренные приёмы выявления тренда не позволяют получить аналитическую модель (т.е. числовую характеристику тенденции). Для этой цели используется аналитическое выравнивание. Суть его заключается в замене фактических уровней теоретическими , которые рассчитаны по определенному уравнению , принятому за математическую модель тренда и где теоретические уровни рассматриваются как функция времени .

На практике выбор формы кривой может быть основан на анализе графического изображения уровней динамического ряда (диаграммы рассеивания); при этом целесообразнее воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные колебания погашены. Если условия формирования уровней ряда изменяются, то расчет параметров выбранного уравнения не следует вести за весь рассматриваемый период; в этом случае необходимо разбить исходный ряд на несколько периодов, основываясь на оценке устойчивости показателей динамики.

При выборе формы уравнения учитывают следующие рекомендации:

· если относительно стабильны абсолютные приросты, выравнивание может быть выполнено с помощью линейной функции ;

· при относительно стабильных темпах роста (т.е. когда цепные коэффициенты роста примерно постоянны) используют показательную функцию (или её логарифм: , получая при этом линейную функцию, если уровни ряда заменить их логарифмами);

· если наблюдается замедленное снижение уровней ряда, то для описания характера тренда выбирают гиперболу вида .

Рассмотрим линейную функцию . Метод наименьших квадратов, исходя из условия:

, (6.13)

дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров и :

, (6.14)

где – исходный уровень ряда,

число членов ряда,

время.

Если значения времени выбираются так, чтобы , тогда получается:

. (6.15)

По полученной модели для каждой даты определяются теоретические уровни тренда и стандартная ошибка аппроксимации (или среднее квадратическое отклонение тренда) по формуле:

, (6.16)

где число параметров в уравнении тренда.

Границы доверительных интервалов прогноза определяются как

, (6.17)

где квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы при уровне значимости

Пример 6.10. Рассчитать интервальный прогноз объёма перевозок на 2007 г. с доверительной вероятностью 0,95 на основе следующих отчетных данных по грузовому автотранспортному предприятию: Год           Объем перевозок, тыс. т.           Для определения формы тренда и расчета его параметров составляется вспомогательная таблица. Год Объем перевозок, тыс. т. Первые разности     - -2   -844           -1   -443 442,8 0,04             463,6 0,36       +1     484,4 0,36       +2     505,2 0,04 Сумма             0,8 Первые разности приблизительно равны между собой, поэтому в качестве модели можно принять уравнение прямой . Параметры определяем по формулам (6.15): ; . Модель тренда имеет вид: . Среднее квадратическое отклонение равно (6.16): . Точечный прогноз на 2007 год: тыс. т. Интервальный прогноз объёма перевозок для 2007 г. при доверительной вероятности 0,95 (уровне значимости ) и числе степеней свободы 3 определяется следующими границами (6.17): или .