Коэффициент корреляции

Теснота связи в корреляционной зависимости (5.11) характеризуется параметром . Однако его величина зависит от единиц измерения переменных, что очень неудобно. Разделим обе части равенства (5.11) на и представим уравнение в эквивалентном виде:

. (5.16)

Величина

(5.17)

называется коэффициентом корреляции Пирсона и показывает на сколько величин изменится в среднем , когда увеличится на одно .

Коэффициент корреляции характеризует близость к линейной зависимости между двумя переменными.

Учитывая (5.12), формулу (5.17) для представим в виде, удобном для практических расчетов:

, (5.18)

где выборочные стандартные отклонения.

находим по формуле (5.13), а по формуле:

. (5.19)

Коэффициент корреляции принимает значения (Рис. 5.2.). Чем ближе к единице, тем теснее связь. Если связь называется прямой (положительная корреляция), если обратной (отрицательная корреляция). При линейная корреляционная связь отсутствует.

• • • • • • • • • • • • • • • • Рис. 5.2.

Иногда требуется оценить значимость коэффициента корреляции (5.18). При этом исходят из того, что при отсутствии корреляционной связи статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Коэффициент корреляции значим на уровне (т.е. гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю отвергается), если

, (5.20)

где – квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы и уровнем значимости .

Коэффициент детерминации.

Наиболее эффективной оценкой адекватности регрессионной модели является коэффициент детерминации . Его величина показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией факторной переменной. Пределы изменения коэффициента детерминации .

Критерий значимости уравнения парной регрессии или самого коэффициента детерминации может быть записан в виде

, (5.21)

где уровень значимости;

число наблюдений;

табличное значение критерия Фишера-Снедекора, определенное на уровне значимости при и степенях свободы.

Пример 5.2.По данным табл. 5.1 вычислить коэффициенты корреляции и детерминации между переменными и , оценить их значимость на уровне . 1) Ранее было вычислено ; следовательно . По формуле (5.19) находим . Подставляем полученные значения в (5.18): , то есть связь между переменными достаточно тесная. Коэффициент детерминации . Доля вариации 0,8 обусловлена вариацией фактора. 2) Статистика (5.20) равна По таблицам . Т.к. , то коэффициент корреляции значим. Статистика (5.21) . Табличное значение . Т.к. , то коэффициент детерминации и уравнение регрессии значимы.