Численные методы

Ниже приведены основные численные методы, необходимые для использования МКЭ. Более основательно эти методы рассмотрены в литературе. Здесь же для каждого из них представлены лишь принципы работы.
Основными методами решения систем линейных уравнений вида АХ = В, получаемых при использовании МКЭ, являются следующие:
1) прямые методы:

· факторизация Гаусса: применяется ко всем действительным или комплексным, симметричным или несимметричным несингулярным матрицам;

· факторизация Холоцкого: применяется ко всем действительным симметричным положительно определенным матрицам;

2) итерационные методы:

· сопряженные биградиенты с предобусловленностью: применяются ко всем несингулярным матрицам (действительным или комплексным);

· сопряженные градиенты с предобусловленностью: применяются ко всем действительным симметричным положительно определенным матрицам.

В модифицированном виде данные методы можно использовать для решения нелинейных систем методом Ньютона-Рафсона. Данный метод можно также использовать для улучшения результата, полученного при решении системы линейных алгебраических уравнений.

При использовании МКЭ приходится вычислять определенные интегралы, когда на каждом элементе сети разбиения определяется элементарная матрица интегрированием на каждом элементе функционала, аппроксимируемого с помощью функций формы. Если же элементы криволинейны или задача нелинейна, аналитическое интегрирование становится невозможным и тогда приходится прибегать к численному интегрированию.
Использование МКЭ приводит к вычислению определенных интегралов на отрезках прямых, дуг кривых или в некоторых областях. При интегрировании по области можно использовать интегрирование по каждому ее элементу, тогда для интегралов, упомянутых выше, необходимо использовать эффективные и точные методы численного интегрирования.
Основные методы численного интегрирования:

1. метод Гаусса, широко используемый при интегрировании на элементах, но требующий вычисления в определенном числе точек. Этот метод имеет преимущества при вычислении на элементах, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает высокую точность;

2. метод Ньютона-Котеса: позволяет вычислять интегралы только в точках, определенных пользователем, полезен для интегрирования на поверхностях, для которых расчет гауссовых координат является необходимым и где достаточно равномерного распределения точек.

Применение МКЭ к задачам параболического типа приводит к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае применяют следующие методы:

1. метод касательных: довольно простой метод, однако, чтобы получить достаточную точность решения, требуется очень мелкий временной шаг;

2. явные методы: проще использовать, однако часто необходимо выбирать очень мелкие временные шаги по причине явления численной неустойчивости. Один из методов - метод Рунге-Кутта;

3. неявные методы: более устойчивы и допускают большие временные шаги, однако на каждом временном шаге необходимо увеличивать объем вычислений из-за наличия неявного члена;

4. полунеявные методы обеспечивают большую точность по сравнению с неявным методом, однако, как и в случае неявного метода, необходимо значительное число вычислений на каждом шаге. Чаще применяется схема Крэнка-Николсона, обеспечивающая устойчивость и высокую точность:

методы прогноза-коррекции: предназначены для того, чтобы на каждом временном шаге избежать ряда расчетов, характерных для неявного метода. Их принцип заключается в двойной (одновременно неявной и явной) формулировке при выполнении только одной итерации.

Популярность МКЭ способствовала созданию коммерческих пакетов программ, среди которых можно отметить следующие часто используемые:

· в механике: NASTRAN, ASKA

· в теплотехнике: TITUS

· в электромгнетизме: FLUX, MAGNET 11, PE2D

· другие: MICROFLUX, GE2D, ANSYS.

Пакеты NASTRAN, TITUS, MODULEF обладают очены высокой универсальностью и априорно обеспечивают решение любой задачи, не содержащей особых сложностей.

20.Типовой состав модулей машиностроительной САПР

MCAD (англ. mechanical computer-aided design) — автоматизированное проектирование механических устройств. Это машиностроительные САПР, применяются в автомобилестроении, судостроении, авиакосмической промышленности, производстве товаров народного потребления, включают в себя разработку деталей и сборок (механизмов) с использованием параметрического проектирования на основе конструктивных элементов, технологий поверхностного и объемного моделирования (SolidWorks, Autodesk Inventor, КОМПАС, CATIA);

В состав развитых машиностроительных САПР входят в качестве составляющих системы CAD, САМ и САЕ.

Функции CAD-систем в машиностроении подразделяют на функции двумерного и трехмерного проектирования. К функциям 2D относят черчение, оформление конструкторской документации; к функциям 3D — получение трехмерных геометрических моделей, метрические расчеты, реалистичную визуализацию, взаимное преобразование 2D и 3D-моделей. В ряде систем предусмотрено также выполнение процедур, называемых процедурами позиционирования, к ним относят компоновку и размещение оборудования, проведение соединительных трасс.

Среди CAD-систем различают системы нижнего, среднего и верхнего уровней. Первые из них иногда называют «легкими» системами, они ориентированы преимущественно на 2D-графику, сравнительно дешевы, основной аппаратной платформой для их использования являются персональные ЭВМ. Системы верхнего уровня, называемые также «тяжелыми», дороги, более универсальны, ориентированы на геометрическое твердотельное и поверхностное 3D-моделирование, оформление чертежной документации в них обычно осуществляется с помощью предварительной разработки трехмерных геометрических моделей. Системы среднего уровня по своим возможностям занимают промежуточное положение между «легкими» и «тяжелыми» системами.

Основные функции САМ-систем: разработка технологических процессов, синтез управляющих программ для технологического оборудования с ЧПУ, моделирование процессов обработки, в том числе построение траекторий относительного движения инструмента и заготовки в процессе обработки, генерация постпроцессоров для конкретных типов оборудования с ЧПУ, расчет норм времени обработки.

Функции САЕ-систем довольно разнообразны, так как связаны с проектными процедурами анализа, моделирования, оптимизации проектных решений. В состав машиностроительных САЕ- систем прежде всего включают программы для выполнения следующих процедур:

- моделирование полей физических величин, в том числе анализ прочности, который чаще всего выполняется в соответствии с МКЭ;

- расчет состояний моделируемых объектов и переходных процессов в них средствами макроуровня;

- имитационное моделирование сложных производственных систем на основе моделей массового обслуживания и сетей Петри.