Метод конечных элементов

Как правило, развитие новых областей знания проходит через три стадии. В течение первой стадии достижения в новой области отражаются на страницах периодических изданий и координируются время от времени редкими обзорными статьями. Практические приложения весьма редки. На второй стадии появляются
монографии, в которых активно работающие в данной области специалисты обстоятельно излагают состояние и перспективы дальнейшего развития области. Прикладные исследования становятся достоянием коллективов исследователей, располагающих передовой технологией и работающих в организациях, которые имеют значительные производственные возможности. Наконец, область приложения распространяется практически на все сферы деятельности, а в учебных заведениях предмет преподается как обычный академический курс.
Конечно-элементный анализ лишь недавно вышел из второй стадии развития. Появился ряд монографий, приближающихся к традиционному учебному курсу и ориентированных на читателя, не знакомого с этой областью знания.

Первые разработки метода конечных элементов (МКЭ) были выполнены в 50-х годах для решения задач сопротивления материалов. В 60-е годы математики получили строгие формулировки для этого метода, после чего он становится общим средством изучения задач в частных производных, понемногу вытесняя метод конечных разностей, который рассматривался в период своего апогея как универсальное средство решения
задач такого типа. После подробного математического его исследования оказалось, что при негладких входных данных задачи МКЭ часто сходится быстрее, чем метод конечных разностей, а иногда вообще обладает оптимальной скоростью сходимости. Начиная с 1970 г. этот метод становится все более популярным среди инженеров всех специальностей благодаря работам Зинкевича, Галлагера, Одена, Лиона, Равьяра, Сильвестера.

Кратко остановимся на связях и сравнении МКЭ с методом конечных разностей, этих наиболее распространенных и эффективных численных методов. Построение конечно-разностных схем обычно требует небольшого объема вычислений, как правило, меньшего, чем в МКЭ. Однако достоинствами МКЭ являются гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построения дискретных задач для произвольных областей, простота учета естественных краевых условий и т. д. Кроме того, математический анализ МКЭ является более простым, его методы применимы к более широкому классу исходных задач, а оценки погрешностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что основу для исследования МКЭ создали фундаментальные результаты, связанные с исследованием сходимости и устойчивости конечно-разностных схем, проекционных методов, обобщенных решений.