Семинарское занятие 1.5

Исследование непрерывности функции и точки разрыва. Задача о непрерывном начислении процентов.

1. Исследовать на непрерывность функции: 1). ; 2). Решение. 1). Область определения функции х R кроме х=0, то есть (-∞; 0) (0, +∞). Так как функция является элементарной, то, значит, она непрерывна в области существования. Точка х=0 является точкой разрыва. Односторонние пределы =1 и =1, но у(0) не существует.

2). . Область определения этой функции х (-∞; 0) (0, +∞). Она элементарная, а значит непрерывная в области существования. Односторонние пределы неравны, потому что = -π/2, = π/2. Это означает, что при х=0 функция терпит разрыв первого рода.

Ответ. 1). х=0 точка разрыва, 2). х=0 точка разрыва.

2. Найти промежутки непрерывности и классифицировать точки разрыва для следующей функции:

1). .

Решение. 1). . Функция является элементарной и определена при х (-∞; 0) (0, +∞), следовательно, на этих интервалах она непрерывная.

Вычислим односторонние пределы, получим =1, =0.

Значит, х=0 точка разрыва первого рода.

Ответ. 1). х=0 точка разрыва 1 рода.

3. Исследовать на непрерывность функцию

1). .

Решение. 1). . Пусть х<2, тогда f (x)= -(1/2)x² является непрерывной на данном множестве. Если х>2, то f (x)=x и так же является непрерывной на указанном множестве. Осталось исследовать точку х=2. Вычислим односторонние пределы функции f (x). Получим =-2, =2. Значит, в точке х=2 функция f (x) терпит разрыв первого рода.

Теория. Известно, что формула сложных процентов имеет вид , где Q₀ – первоначальная сумма вклада, р – процент начисления за определенный период времени (месяц, год), n- количество периодов времени хранения вклада, Q_n – сумма вклада по истечении n периодов времени.

(Этой формулой можно пользоваться в демографических расчетах, например, прирост населения, и в прогнозах экономики, например, увеличение валового национального продукта).

Пусть р=100% годовых. Составим таблицу расчета Q_n.

n	За один промежуток		Примечание
		=2 Q0	Процент начисляется один раз в год
	1/2	=(3/2)2 Q0=2,25 Q0	Процент начисляется один раз в полугодие
	1/4	=2,44 Q0	Процент начисляется ежеквартально
	1/12	≈2,61 Q0	Процент начисляется ежемесячно
	1/365	≈2,714 Q0	Процент начисляется ежедневно
	1/8720	≈2,718 Q0	Процент начисляется ежечасно
n	1/n	при n→∞	Непрерывное начисление процента

Сколько бы ни было велико число начислений n, годовая сумма накоплений не превзойдет еQ₀, а доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более, чем .

В общем случае, если р – процент начисления за год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины , где r=p/100 – годовая ставка процента. Это выражение можно преобразовать к виду и при n→∞. Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.

Пример. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. На сколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Полгода составляют 182 дня. , преобразуем, получим ≈ .

Ответ. Приблизительно в 6 раз.

Задания для аудиторной работы

1. Исследовать на непрерывность функций:

1). 2). 3)

2. Найти промежутки непрерывности и классифицировать точки разрыва для следующих функций:

1) 2) 3) .. 4)

5) 6) 7)

8) 9)

3. Сбербанк начисляет ежемесячно по сложной процентной ставке (с капитализацией накоплений) 24% годовых. Определить сумму вклада после 8 месяцев хранения, если первоначальный вклад 360 р.