Семинарское занятие 1.1

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

1. Определить и построить на числовой оси области изменения переменных х, t, α, заданные следующими неравенствами ; .

Решение. 1). ═> ═> -2≤ х ≤2.

Ответ. .

2). ═> ═> ═> .

Ответ. .

1. Вычислить частное значение функции:

1). при х=0.

Решение. =2.

Ответ. 2.

3. Определить четность функции: .

Решение. 1). Вычислим = = . Значит, функция нечетная.

Ответ. Нечетная.

4. Найти область определения функции: .

Решение. ═> 1-х²≥0 ═> ═>-1≤ х ≤1.

Ответ. -1≤ х ≤1.

5. Найти область изменения функций: 1). ;

2). .

Решение. 1). => => => .

, значит, , или .

Ответ. .

2). Из функции выразим х через у, получим . Это выражение имеет смысл, если

1-4у²≥0 или .

Ответ. .

1. Найти наименьший период функции: .

Решение. => => => => => x=x+π =>T=π.

Ответ. T=π.

1. Построить график функции, заданной параметричеки: .

Решение. 1). Составим таблицу значений переменных х и у в зависимости от параметра t и построим график в декартовой прямоугольной системе координат

t		π/4	π/2	3π/4	π
x		-1+	-1	-1-	-3
y		3+		3-

Это построение можно выполнить другим способом. Из задания функции исключим параметр t, получим . Это уравнение окружности с центром в точке (-1; 3) и радиусом r =2. Так как t [0;π), то sint ≥0, значит у ≥3, то есть имеем часть окружности, лежащую выше прямой у =3.

8. В полярной системе координат построить кривую, давая значения через от 0 до . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат. Найти полярное уравнение кривой и построить ее:

1). а). ; б). .

Решение. 1). а). . Составим таблицу значений ρ (ρ ≥0) в зависимости от угла φ.

φ		π/4	π/2	3π/4	π	5π/4	3π/2	7π/4	2π
ρ				-	-	-

Построим график в полярной системе координат, совместив ее с декартовой прямоугольной системой координат

Чтобы найти уравнение линии в декартовой системе координат, надо применить формулы, связывающие декартовые и полярные координаты точки, то есть ; ; ; , . Получим =2 , или . Это уравнение окружности с центром в точке (1; 0) и радиусом r =1.

б). Для нахождения полярного уравнения линии воспользуемся уже известными формулами из предыдущего примера. Получим или . Составим следующую таблицу значений:

Построим график в полярной системе координат. .

Задания для аудиторной работы

1. Определить и построить на числовой оси области изменения переменной α, заданной следующим неравенством .

1. Вычислить частное значение функции:

1). при х=а+1; 2). при х=-1/2.

3. Определить четность функций:

1). ; 2). ; 3). ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

4. Найти область определения функций:

1). -lg(2x-3); 2). ; 3). ;

4). ; 5).

5. Найти область значений функций:

1) ; 2) .

6. Найти наименьший период функций:

1) y=2sin4x; 2) y=4cos(.

7. Построить график функций:

1). ; 2). ; 3). ;

4). .

8. Построить график функции, заданной параметричеки:

.

9. В полярной системе координат построить кривую, давая значения через от 0 до . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат. Найти полярное уравнение кривой и построить ее:

а). ; б). .