Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Обучающий блок
Содержание лекций (тезисы)
Лекции 1.1, 1.2: «Функции одной переменной»
Вопросы: 1.Понятие множества. 2.Определение функции, основные свойства. 3. Основные элементарные функции. 4.Классификация элементарных функций.
Понятие множества: Множество – одно из фундаментальных понятий математики. Синонимы: система, совокупность, группа, семейство,… Множество можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты множества – элементы множества. Обозначение: А, В, С - множества, а, в, с, -элементы множества. аεА – «а принадлежит множеству А». Ø – пустое множество. Задание множества: перечислить его элементы, например, А={1,2,3}, определить правило принадлежности элемента множеству, что соответствует записи А= {a| правило}. Соотношения между множествами: А=В, А В, А В. Операции над множествами: 1) А+В (или объединением А В) – множество, состоящее из элементов множества А и множества В, т.е. А В={х│хεА или хεВ}. Геометрическая иллюстрация. Пример: А+ Ø=А. 2) АВ (или пересечением А В) называется совокупность элементов, входящих как в А, так и в В, т.е. А В={х│хεА и хεВ}. Геометрическая иллюстрация. Пример: А Ø= Ø, А В = Ø то А и В не пересекаются. 3) Разностью А\В называется множество, состоящее из всех элементов А, не содержащихся в В, т.е. А\В={х│хεА и х В}. Геометрическая иллюстрация. Пример: А- Ø=А. Числовые множества: N, Z, Q, R, C – комплексные, т.е. С={z│z=a+bi, aεR, bεR, i2=-1}. Свойства операций над вещественными числами. (Повторить самостоятельно.) Числовая прямая и множества на ней: Между А и В установлено соответствие, если по какому-либо закону или правилу любому элементу а из А соответствует элемент в из В. Соответствие называется взаимно однозначным, если аεА соответствует только один элемент из В, и наоборот. Между R и множеством точек на прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Числовые множества: [a, b] – отрезок, (a, b) – интервал, (a, b],: [a, b) – полуинтервалы, (-∞, b], [a, +∞),(-∞, +∞) – множество R. ε- окрестность точки с координатой а: Оε(а)=(а-ε, а+ε). Точка аεА называется внутренней точкой этого множества, если Оε(а) А, граничной точкой, если в любой окрестности а содержатся как точки, принадлежащие А, так и не принадлежащие А. Определение функции: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Пример. Отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу p @ 3,14. Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то она называется параметром. Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Определение. Если каждому элементу х множества Х (хÎ Х) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y (уÎY), то говорят, что на множестве Х задана функция у = f (х). При этом х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная (функция), f – означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения (существования)функции, а множество Y – областью значений функции. Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у = f (х) вообще имеет смысл. Способы задания функций: 1.Аналитический (формулы). 2.Табличный. 3.Графический. 4.Словесный (описание правилом). Основные свойства функций. 1) Четность и нечетность. Четная, если f (-х) = f (х) и нечетная, если f (-х) = - f (х). В противном случае ф-ция у = f (х) не является ни четной ни нечетной. 2) Монотонность. Пусть х1,х2ÎХ и х2>х1.Þ Функция у = f (х) возрастает, если f (х2)> f (х1), и убывает, если f (х2) < f (х1). 3) Ограниченность. Если существует М>0, что │f (х)│≤ М для любых х. 4) Периодичность. Если f (х + Т) = f (х), Т≠0. Основные элементарные функции: - степенная у=хn, nεN, у=х-n, nεN, у= , nεN, - показательная у=ах, а>0, a≠1, - логарифмическая у=logax, а>0, a≠1, - тригонометрические у=sinx, cosx, tgx, ctgx, - обратные тригонометрические y= arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Явное задание: у=f(x), неявное задание F(x, y)=0. Взаимно-однозначная функция, если для любых х1, х2 и х1 ≠ х2 выполняется f(x1)≠f(x2). Пусть у=f(x) взаимно-однозначная функция => х=φ(у) или у= φ(х) или у=f -1(x) – обратная по отношению к данной. Теорема. Если у=f(x) строго монотонная на множестве Х, У – множество ее значений, тогда: 1) у=f(x) – взаимно однозначная на Х, следовательно существует обратная f -1(x) на множестве У; 2) f (x) и f -1(x) возрастают (строго) одновременно (убывают строго).Доказательство самостоятельно. Сложная функция: Пусть функция у = f(и) определена на множестве и. У – область изменения. и= φ(х) определена на множестве Х. И – ее область изменения. Тогда у = f(φ(x)) (сложная функция) определена на множестве Х. Определение: Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными. Классификация функций. - Алгебраические (целая рациональная функция, дробно-рациональная, иррациональная) - Трансцендентные (показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратно тригонометрические). Преобразование графиков: С помощью графика функции y = f(x) построить график функции y= m f (k(x + a)) + b. Применение функций в экономике. 1. Функции Л. Торнквиста – зависимость спроса на различные товары от дохода , х>аi i=1,2,3. 2. Кривые спроса и предложения (паутинообразная модель) 3. Кривые безразличия – линии, вдоль которых полезность двух благ х и у одна и та же. xу=U Линия бюджетного ограничения рх + руу= I, рх, ру –цены, I- доход потребителя. х0,у0 -оптимальные количества благ, имеющих max полезность U0. 4. Рассматривая функции издержек С(q) и дохода r(q) фирмы, можно установить зависимость прибыли φ(q)= С(q) - r(q). Задание функций в виде таблиц Нахождение неизвестных приближенных значений функций по известным ее значениям в заданных точках называется интерполированием (интерполяция). Экстраполяция. Линейная интерполяция. => у=у0+Δf (второе слагаемое – интерполяционная поправка).
Лекция 1.3: «Предел и непрерывность»
Вопросы: 1. Предел числовой последовательности. 2.Первый и второй замечательные пределы
Предел последовательности. Определение. Если по некоторому закону каждому числу nєN поставлено в соответствие вполне определенное число аn, то говорят, что задана последовательность {аn} =a1, a2, …an, … аn- общий член последовательности. Определение. а – предел {xn} ó ε > 0 N(ε) | |xn-a|< ε при n>N (ε). Геометрическое толкование предела: ε фиксируем => N(ε), начиная с которого аN=1, aN+2,…принадлежат O ε(a). Теоремы о сходящихся последовательностях. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Т1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Т2. Сходящаяся последовательность ограничена. Основные теоремы о пределах последовательностей. Пусть хn→a, yn→b при n→∞. Тогда 1) хn± yn→ a±b, 2) хn yn→аb, (следствие – константу можно выносить за знак предела), 3) хn/ yn→а/b. Примеры. Теорема. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: Лекция 1.4: «Предел и непрерывность»
Вопросы: 1.Предел функции в бесконечности и точке. 2.Сравнение бесконечно малых.
Предел функции в точке. Пусть у= f(x) задана в окрестности точки х0, кроме быть может в самой точке х0. Определение. Число А называется пределом функции f(x) ó ε > 0 δ(ε) | | f(x) - A| < ε при |х-х0| < δ(ε) x ≠ x0. Геометрический смысл. Пример 1) , 2) не существует. Замечание. Наличие или отсутствие предела определяется поведением функции в окрестности точки (т.е. существование функции в самой точке не требуется). Предел функции в бесконечности Определение. А – предел функции f(x) при х→∞ ó ε > 0 М(ε) | | f(x) - A| < ε при |х| > М(ε) x ≠ x0. . Основные теоремы о пределах. 1) f(x) →Ạ, v(x) →B при х→х0 (х→∞) => ; ; , В≠0 2) Функция не может иметь более одного предела; 3) f(x)≤z(x)≤v(x), f(x) →Ạ, v(x) →А при х→х0 (х→∞) =>z(x)→A при х→х0 (х→∞); 4) у=f(v(x)), v(x) →U0 при х→х0 , f(U)→A при u→u0=> ; 5) f(x) →Ạ, v(x) →B при х→х0 (х→∞) и f(x) < v(x) в О(х0) => А<В. Бесконечно малые величины. Отношения б/м. Свойства б/м. Бесконечно большие величины. Свойства б/б. Связь между б/м и б/б величинами. Формула сложных процентов. Qn= Q0(1+p/100)n, где р- процентная ставка за определенный период времени, n- количество периодов хранения вклада. Непрерывное начисление процентов.
Лекция 1.5: «Предел и непрерывность»
Вопросы: 1.Непрерывность функции в точке. 2.Точки разрыва функции.
Определение. Говорят, что функция f(х), определенная в точке х0 и ее окрестности, непрерывна в точке х0, если . Определение. Пусть f(x) определена в точке х0 и ее окрестности. ∆х=х-х0 – приращение аргумента, ∆f= f(x0+∆х) – f(x0) – приращение функции. Функция называется непрерывной в точке х0, если , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует б/м приращение функции. Определение. Функция f(х), определенная в точке х0 и ее окрестности, непрерывна в точке х0, если 1) существуют конечные односторонние пределы функции в точке х0 и ; 2) равны между собой = ; 3) и равны значению функции в этой точке = = . Определение. Говорят, что функция f(х) непрерывна на (а,в), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Говорят, что функция f(х) непрерывна на [а,в], если она непрерывна в каждой точке этого интервала и непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке в. Непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции. Примеры. Свойства функций, непрерывных в точке: 1. Если f(x) и v(x) непрерывны в точке х0, то f(x) ± v(x), f(x) ·v(x), f(x) / v(x) при условии, что v(x0)≠0, являются функциями, непрерывными в точке х0. Доказательство следует из определения непрерывности и аналогичных свойств пределов функции. 2. Если f(u) непрерывны в точке u0, а u=v(x) непрерывна в точке х0, то сложная функция у=f(v(x)) непрерывна в точке х0. 3. Если у=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0, то существует окрестность точки х0 такая, что для любой точки х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>0. 4. Всякая элементарная функция непрерывна в области ее определения. Замечание: Непрерывность функции в области определения гарантируется лишь для элементарных функций. Для неэлементарных функций гарантии такой нет. Пример. f(x)=[x] («антье» х – целая часть числа). Свойства функций непрерывных на [a, b]. 1-я теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Доказательство от противного. 2-я теорема Вейерштрасса. Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Теорема Больцано-Коши. Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков f(a)f(b)<0. Тогда существует такая точка c, принадлежащая этому отрезку, в которой функция f(c)=0. Доказательство. Теорема 4. Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на [a, b] и f(a) ≠ f(b). Для любого числа L, f(a)<L<f(b), найдется такая точка c, принадлежащая (а, в), в которой f(c)=L. Теорема 5. Если у=f(x) непрерывная на промежутке J (замкнутое и нет, конечное или бесконечное), то множество У – ее значений на J также представляет собой промежуток, причем, если f(x) имеет обратную f--1(x) на J, то эта последняя непрерывна на J. Классификация точек разрыва функции. Определение. Точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции у=f(x), если , но f(x0) ≠А или f(x) не определена в точке х0. Пример: Функция sinx/ x при х=0 не определена, предел =1. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1 рода функции у=f(x), если односторонние пределы f(x) при х→х0 существуют, конечны и не равные друг другу. Пример. f(x)=Sign(x). Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 рода функции у=f(x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов, или по крайней мере один из них бесконечен. Пример. У=1/х., у=е1/х.
|