Метод контурных токов основ на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволят уменьшить число уравнений в системе на (n-1)

Где n – количество узлов в схеме. Достигается это разделением схемы на независимые контуры и введением для каждого контура ячеек своего тока –контурного тока, являющегося расчетной величиной. И так в заданной цепи (рисунок 2) можно рассмотреть три контура ячейки(ACDA,ABDA,CBDC) и ввести для них контурные токи , , .

Ветви, принадлежащие двум смежными контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных то­ков смежных контуров, с учётом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура. Исходя из этого порядок решения цепи постоянного тока методом контурных токов будет выглядеть таким образом:

Стрелками указывается выбранные направления контурных токов , , в контурах — ячейках. Направление обхода контуров принимают таким- же;

Как и при решении задачи по законам Кирхгофа, так и здесь составляются уравнения (берем контур и обходим его по заданному направлению обхода) и решается система уравнений методом подстановки, или с помощью определителей. Составляем систему уравнений согласно второму закону Кирхгофа:

E₂-E₃ =I_k2(r₀₂+R₃+R₆+R₂)-I_k2 ∙R₂-I_k3 ∙R₆

E₃ =I_k3(R₄+R₅+R₃)-I_k1 ∙R₄-I_k2 ∙R₆

Подставляем численные значения сопротивлений и ЭДС источников в полученную систему уравнений:

28= I_k1∙(2+30+10+16)- I_k2 ∙16- I_k3 ∙10

16-24= I_k2 ∙(1+10+30+16)- I_k1∙16- I_k3 ∙30

24= I_k3∙(10+30+10)- I_k1∙10- I_k2 ∙30

28= I_k1∙58- I_k2 ∙16- I_k3 ∙10

-8= - I_k1∙16+ I_k2 ∙57- I_k3 ∙30

24= - I_k1∙10- I_k2 ∙30+ I_k3∙50

Решаем составленную систему уравнений методам Крамера:

=58∙57∙50+(-16)∙30∙10-16∙30∙10-10∙57∙10-58∙30∙30-16∙16∙50=165300-4800-4800-5700-52200-12800=85000

₁ =28∙57∙50+16∙30∙24-8∙30∙10+24∙57∙10-8∙16∙50-30∙30∙28=79800+11520-2400+13680-6400-25200=71000

₂ = -58∙8∙50+28∙30∙10+16∙24∙10+10∙8∙10+24∙30∙58-16∙28∙50= -23200+8400+3840+800+41760-22400=54000

₃ =58∙57∙24-16∙8∙10+16∙30∙28+10∙57∙28-16∙16∙24-30∙8∙58=79344-1280+13440+15960-6144-13920=87400

Вычисляем контурные токи:

I_k1

I_k2

I_k3

Находим токи в цепи:I₁=0,8 (А); I₂= I₂-I₁=0,2 (А); I₃=0,6 (А); I₄= I₃-I₁=0,2 (А); I₅=1(А); I₆= I₃-I₂=0,4 (А)

Теперь рассчитываем эту схему методом наложения предварительно её преобразовав (рисунок 1.1.3)

Схема для расчета с источником Е₁ (рисунок 1.1.4)

Упрощаем схему(рисунок 1.1.5)

Находим эквивалентное сопротивление цепи:

R_C =

R_D =

R_B =

R_C5=R_C+R₅=5.789+30=35.789

R_B4=R_B+R₄=10+8.421=18.421

R_C5B4=

Rэ=R_D+R₁+R_C5B4=3.0877+32+12.161=47.249

Находим ток I₁:

I₁=

Находим напряжение в цепи:

U_X=I₁ ∙R_C5B4=0.5926 ∙12.161=7.2066 B

Находим токи I₅ и I₄:

I₅=

I₄=

Находим ток I₂ по второму закону Кирхгофа:

I₁ ∙R₁+R₄ ∙I₄+I₂ ∙R₂=E₁

I₂=

I₂=

Находим токи по первому закону Кирхгофа:

I₃+I₂-I₁=0

I₃=I₁-I₂

I₃=0.5926-0.3204=0.2722 A

I₄-I₂-I₆=0

-I₆=I₂-I₄=0.0706 A

Схема для расчета с источником Е₂ (рисунок 1.1.5)

Упрощаем схему (рисунок 1.1.6)

По первому закону Кирхгофа находим токи:

I₆+I₅-I₃=0 → I₅=I₃-I₆=0.208 A

I₄+I₂-I₆=0 → I₄=I₆-I₂=0.053 A

I₁-I₄-I₅=0 → I₁=I₄+I₅=0.156 A

Находим эквивалентное сопротивление цепи:

R_A =

R_B =

R_D =

R_6B=R₆+R_B= 32.75862

R_6BA5=

Rэ=R_6BA5+R₃+R_D= +30+ =36.868686

I₃=

Находим напряжение в цепи

U_X=I₃ ∙R_6BA5= ∙ =7.5989 B

I₅=

I₆=

Находим ток по второму закону Кирхгофа:

I₂∙R₂+I₆ ∙R₆+R₃∙I₃=E₂ →I₂= A

Схема расчета для Е₃ (рисунок 1.1.7)

Упрощаем схему (рисунок 1.1.8) и (рисунок 1.1.9)

Находим эквивалентное сопротивление цепи:

R_A =

R_B =

R_D =

R_A5=R₅+R_A= 35.7142857

R_D3=R₃+R_D=10+8.421=20.8142857

R_A5D3=

Rэ=R_D3A5+R₆+R_B==46.16554

I₆=

Находим напряжение в цепи

U_X=I₆ ∙R_D3A5= =7.0268 B

Находим токи I₅ и I₃

I₅=

I₃=

I₂∙R₂+R₃∙I₃+I₆∙R₆=E₃

I₂=

I₃-I₆+I₅=0 → I₅=I₆-I₃=0.189 A

Находим токи по первому закону Кирхгофа:

I₆-I₂-I₄=0 A

-I₄=I₂-I₆=0.250 A

I₁+I₂-I₃=0 A

I₁+I₂-I₃=0

I₁=I₃-I₂=0.061

Зная значение токов в каждой схеме легко определить значение токов в цепи с тремя ЭДС:

I₁=I′₁+I″₁-I‴₁=0.687 А

I₂=-I′₂+I″₂-I‴₂=0.320 А

I₃=I′₃+I″₃-I‴₃=0.368 А

I₄=-I′₄-I″₄+I‴₄=0,089 А

I₅=I′₅+I″₅+I‴₅=0.599 А

I₆=-I′₆ -I″₆+I‴₆=0.231 А

Результаты расчетов показаны в таблице 1.1.

Таблица 1.1

1.2

Построить входную вольтамперную характеристику схемы (рисунок 1.2.1.).

Дано: U=80 B,R₃=32 Oм, R₄=48 Oм.

Определить: I₁, I₂, I₃, U_нэ.

Определить токи во всех ветвях схемы и напряжение на отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики.

Расчет цепи производим графическим методом. Для этого в общей системе координат строим вольтамперные характеристики (ВАХ) линейного и нелинейных элементов: I₁=f(U₁), I₂=f(U₂), I₃=f(U₃) (рисунок 1.2.2.).

ВАХ линейного элемента строим по уравнению . Она представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Для определения координаты второй точки ВАХ линейного элемента задаемся произвольным

Соединив полученную точку с началом координат, получим ВАХ Далее строится общая ВАХ цепи с учетом схемы соединения элементов. В нашей цепи соединение элементов смешанное. Поэтому графически «сворачиваем» цепь. Начинаем с разветвленного участка. Нелинейный элемент (нэ2) и линейный R3 соединены последовательно, их ВАХ I₂ = f(U₂) и I₃ = f(U₃). С учетом этого строим общую для них ВАХ. Для этого задаемся током и складываем напряжение при этом токе U = U₂ + U₃. Получаем множество точек и по ним строим ВАХ I₁ = f(U₂₃).

Далее мы имеем характеристику нелинейного элемента (нэ₁₄) I₁ = f(U_Н14) и (нэ₁) I₁ = f(U₁), которые соединены между собой последовательно. Строим для них общую ВАХ. В данном случае задаемся током и складываем напряжения. Проделываем это многократно. По полученным точкам строим общую ВАХ цепи I₁ = f(U).

Дальнейший расчет цепи производим по полученным графикам.

Чтобы найти токи и напряжения на всех элементах цепи, поступаем так: по оси напряжений находим значение напряжения, равное 80 В. Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей ВАХ, получим точку «А». Из точки «А» опускаем перпендикуляр на ось тока образуя при этом точку «Б» на ВАХ I₁ (нэ₁₄) I = f(U₁₄) и (нэ₁) и мы получим значение I₁=1,06 (A). Из точки «Б» опускаем перпендикулярна ось напряжения, пересекаем ВАХ I₁ (нэ₁₄) I = f(U₁₄) и (нэ₁) I₁ = f(U₁), в точках «В» и «Г» соответственно. Опуская перпендикуляры из этих точек на ось тока, получим ток на каждом участке цепи: I₂ = 0,2 (A) и I₃ = 0,8 (A).Чтобы найти напряжение на элементе НЭ₁, опустим перпендикуляр из точки «Б» на ось тока до пересечения с ВАХ I₃ = f(U_НЭ1). Опустив из этой точки перпендикуляр на ось напряжения, получим U_НЭ1 = 46 (В).