Asset Prices under Habit Formation and Catching up with the Joneses by Andrew B. Abel

В данной статье Абель рассматривают функцию полезности с тремя классификациями.

1) традиционная с межвременным разграничением;

2) функция полезности «догнать Джонсов», которая зависит от уровня потребления потребителей по отношению к замедленному среднему уровню потребления;

3) функция полезности, которая отображает формирование привычек.

Включение этой функции полезности в модель ценообразования Лукаса (1978) позволяет рассчитать конечный вид решений для цен на акции, векселя и консоли в предположении, что рост потребления независимо одинаково распределен. Тогда равновесные цены актива используются для изучения загадки премии к цене акций.

Можно представить функцию полезности в общем виде:

где v _t+j- параметр предпочтения, который определяется как:

Где c_t-1 – собственное потребление индивида, а C_t-1- агрегированное потребление на душу населения.

Если = 0, то v _t=1 и мы получаем «традиционную модель»(независимую во времени): полезность в каждом периоде зависит от текущего потребления и не зависит от потребления в других периодах.

Если >0, а D = 0 получаем модель «догнать Джонсов»

Если >0, а D = 1 получаем модель формирования привычек.

Разница модели «догони Джонсов» и модели формирования привычек в потреблении состоит в том, с чем потребители сравнивают текущее потребление. В первом случае текущее потребление сравнивается со средним агрегированным потреблением других агентов в прошлом, а во втором случае сравнивается с собственным потреблением агента в прошлом. В обеих моделях текущая полезность зависит не только от текущего потребления, но и от потребления в прошлом, именно в этом состоит отсутствие межвременного разделения в данных моделях.

Для дальнейшей работы автор подставляет ν_t в U_t и дифференцирует, в итоге получает:

При этом

α – коэффициент относительного неприятия риска.

Равновесие при этом имеет вид:

В итоге Абель получает уравнение, определяющие цену рискового актива, цену облигации и консоли. Цены имеют вид:

· w_t - соотношение цена-дивиденд(для акции)

· s_t -цена безрисковой облигации

· p_t^c – цена консоли

Абель отражает безусловные ожидаемые доходности для акций, облигаций и консолей для трёх видов функции полезности. Ожидаемые доходности при этом, соответственно, равны:

Нормы прибыли были рассчитаны для логнормального распределения х и для 2-ух точечного независимого и одинакового распределённого распределения.