Проекции прямой

При проецировании прямой на какую-либо плоскость проекций проецирующие лучи, проходящие через точки прямой, образуют проецирующую плоскость, которая пересекает плоскость проекции по прямой (рис. 4.18). Следовательно, проекцией отрезка будет отрезок прямой. Чаще всего проекция отрезка меньше самого отрезка, так как его проекция (ab) является частью катета прямоугольной: треугольника (ВbМ), а отрезок (АВ) — частью гипотенузы. Так как Mb < MB, то и ab<AB. Отношение проекции отрезка к его натуральной величине называют коэффициентом искажения.

Рис. 4.17.

Коэффициент искажения обозначают буквой К,

К= аb/AB ≤1

Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, при проецировании образуется прямоугольник, в котором сам отрезок и его проекция являются противоположными сторонами этого прямоугольника. Следовательно ВС=bс. В этом случае коэффициент искажения К= аb/AB =1, т. е. отрезок проецируется без искажения.

Положение прямой в пространстве можно определить двумя ее точками, поэтому, чтобы задать прямую на эпюре, достаточно задать проекции двух ее точек (рис. 4.18), т.е. проекции отрезка этой прямой. Данные проекции отрезка прямой полностью определяют положение прямой в пространстве.

Рис. 4.18.

Сравнивая координаты точек А и В, являющихся концами отрезка, можно представить себе, как располагается отрезок в пространстве. Точка В находится выше точки А относительно плоскости Н, так как b'b_х>а'а_х, т. е. ZB>ZA, и точка В ближе к плоскости V, чем точка А, так как bb_x<aa_x, т. е. YB<YA.

Различные случаи расположения прямых относительно плоскостей проекций

Прямая общего положения — прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций (рис. 4.18), т. е. ни одна из проекций этой прямой не параллельна какой-либо оси проекций.

Горизонтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Н. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости Н (рис. 4.19, а), т. е. координаты Z всех точек отрезка ВС равны между собой, ВЬ= = Сс — b'bx—c'cx — ZH = Zc- Фронтальная проекция горизонтальной прямой параллельна оси Ох (рис. 4.19,б). Положение второй проекции относительно оси Ох определяется положением самой прямой, Угол наклона горизонтальной прямой к плоскости V — р. На плос­кость Н отрезок горизонтальной прямой проецируется в натуральную величину.

Рис. 4.19.

Фронтальная прямая — прямая, параллельная плоскости V. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости V (рис. 4.20, а), т. е. координаты Y всех точек отрезка CD равны между собой. Горизонтальная проекция фронтальной прямой параллельна оси Ох (рис. 4.20,б). Положение второй проекции относительно оси Ох опреде­ляется положением самой прямой. Угол наклона фронтальной прямой к горизонтальной плоскости H равен α. На плоскость V отрезок фронтальной прямой проецируется в натуральную величину.

Рис. 4.20.

Профильная прямая — прямая, параллельная плоскости H. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости W (рис. 4.21,а), т. е. координаты X всех точек отрезка DE равны между собой. Фронтальная проекция профильной прямой параллельна оси Oz, а горизонтальная проекция — оси Оу (рис. 4.21,б). Положение профильной проекции определяется положением самой профильной прямой. Угол наклона профильной прямой к плоскости Н — α, к плоскости V — β. На плоскость W отрезок профильной прямой проецируется в натуральную величину.

Рис. 4.21.

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называют проецирующими прямыми.

Горизонтально-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости H. Проекция такой прямой на плоскости Н является точкой, а ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Оz (рис. 4.22). На плоскость V прямая проецируется в натуральную величину.

Фронтально-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости V. Проекция этой прямой на плоскость V является точкой, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Оу (рис. 4.23). На плоскость Н прямая проецируется в натуральную величину.

Профильно-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости W. Проекция этой прямой на плоскость W является точкой. Ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Оу и параллельна оси Ох, а фронтальная — перпендикулярна оси Oz и параллельна оси Ох (рис. 4.24). На плоскости Н и V прямая проецируется в натуральную величину.

Рис. 4.22.

Рис. 4.23.

Рис. 4.24.

Точка, принадлежащая прямой. Если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой прямой и на одной линии проекционной связи. На рис. 4.25,а точка М лежит на прямой CD. Ее горизонтальная проекция т (рис. 4.25,б) лежит на горизонтальной проекции прямой cd, а фронтальная проекция т' — на фронтальной проекции прямой c'd'.

Обычно по двум проекциям можно определить взаимное расположение точки и прямой. Точка 5 принадлежит прямой CD (рис. 4.25,б), так как ее проекции лежат на про­должении одноименных проекций прямой и на одной линии проекционной связи. Только одна проекция точки F (горизонтальная) лежит на одноименной проекции прямой ей, поэтому точка F не принадлежит прямой CD (рис. 4.25, а и б).

Рис. 4.25.

Если прямая параллельна одной из плоскостей проекций, о взаимном расположении прямой и точки можно получить представление на плоскости проекций, параллельной данной прямой. Для горизонтальной прямой — на плоскости, для фронтальной прямой — на плоскости V, для профильной прямой — на плоскости W.

На рис. 4.25, в и г показаны частные случаи расположения точки и прямой, когда только две проекции точки F лежат на одноименных проекциях прямой CD, и сама точка F не принадлежит прямой CD, так как третья проекция точки не лежит на проекции прямой.

Взаимное расположение прямых

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие одну общую точку. На эпюре одноименные проекции этих прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии проекцион­ной связи (рис. 4.26, а).

Скрещиваются прямые. Если одноименные проекции прямых пересе­каются, но точки пересечения лежат на разных линиях проекционной связи (рис. 4.26,6), то прямые не пересекаются, а скрещиваются. Точки пересечения одноименных проекций (рис. 4.26,б, точки 1' и 2) представляют собой проекции разных точек, которые находятся на одном проецирующем луче и принадлежат разным прямым.

Рис. 4.26.