Теорема о сходимости к стационарному распределению

Пусть существует хотя бы одно состояние и такие и , что . Тогда существует и притом единственное стационарное распределение , такое, что при . Кроме того, равномерно по всем состояниям не зависимо от начального распределения вероятностей.

Пример 2.1. В моменты времени производится осмотр ЭВМ. Возможные состояния ЭВМ: – полностью исправна; – незначительные неисправности, которые позволяют эксплуатировать ЭВМ; – существенные неисправности, дающие возможность решать ограниченное число задач; – ЭВМ полностью вышла из строя. Матрица переходных вероятностей имеет вид:

.

Построить граф состояний. Найти вероятности состояний ЭВМ после трех осмотров, если вначале (при ) ЭВМ была полностью исправна.

Решение.

По условию вектор вероятности состояний ЭВМ в начальный момент времени (до первого осмотра) равен

.

После трех осмотров он будет равен ,

где , , .

С вычислительной точки зрения данную задачу проще решать по рекуррентной формуле:

, ,

, ,

.