Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Позиционные системы счисления
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман. Под позиционной системой счисления обычно понимается b -ричная система счисления, которая определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b. Каждая степень bk в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра an − 1 в b -ричном представлении x была также ненулевой.
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде: Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются: · 1 — единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.); · 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании); · 3 — троичная; · 4 — четверичная; · 5 — пятеричная; · 8 — восьмеричная; · 10 — десятичная (используется повсеместно); · 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами); · 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах); 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).
Основание системы (b) - это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. В общем случае некое число x может быть представлено в системе с основанием b, как x=an*bn+an-1*bn-1+ a1*b1+a0*b0, где an...a0 -- цифры в представлении данного числа. Например: В десятичной системе: 103510=1*103+0*102+3*101+5*100;
Двоичная система счисления: 010 = 02 610 = 1102 1210 = 11002 1810 = 100102 110 = 12 710 = 1112 1310 = 11012 1910 = 100112 210 = 102 810 = 10002 1410 = 11102 2010 = 101002 310 = 112 910 = 10012 1510 = 11112 и т.д. 410 = 1002 1010 = 10102 1610 = 100002 510 = 1012 1110 = 10112 1710 = 100012 7.4
Пусть требуется перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. Сначала определим максимальную степень двойки, такую, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В нашем случае это 9, т. к. 29=512, а 210=1024, что больше начального числа. Таким образом, мы получим число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 567-29=55. Остаток сравним с числом 28=256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд будет нулем, т. е. результат примет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 27=128>55, то и он будет нулевым. Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 25=32<55, поэтому шестой разряд равен 1 (результат 10001ххххх). Для остатка 55-32=23 справедливо неравенство 24=16<23, что означает равенство единице пятого разряда. Действуя аналогично, получаем в результате число 1000110111. Мы разложили данное число по степеням двойки: 567=1*29+0*28+0*27+0*26+1*25+1*24+0*23+1*22 +1*21+1*20 При другом способом перевода чисел используется операция деления в столбик. Рассмотрим то же самое число 567. Разделив его на 2, получим частное 283 и остаток 1. Проведем ту же самую операцию с числом 283. Получим частное 141, остаток 1. Опять делим полученное частное на 2, и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь для того, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, то есть 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки. Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1000110111. Эти два способа применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием. Для закрепления навыков рассмотрим перевод числа 567 в систему счисления с основанием 16. Сначала осуществим разложение данного числа по степеням основания. Искомое число будет состоять из трех цифр, т. к. 162=256 < 567 < 163=4096. Определим цифру старшего разряда. 2*162=512<567<3*162=768, следовательно искомое число имеет вид 2хх, где вместо х могут стоять любые шестнадцатеричные цифры. Остается распределить по следующим разрядам число 55 (567-512). 3*16=48<55<4*16=64, значит во втором разряде находится цифра 3. Последняя цифра равна 7 (55-48). Искомое шестнадцатеричное число равно 237. Второй способ состоит в осуществлении последовательного деления в столбик, с единственным отличием в том, что делить надо не на 2, а на 16, и процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.
Операция перевода в десятичную систему выглядит гораздо проще, так как любое десятичное число можно представить в виде x = a0*pn + a1*pn-1 +... + an-1*p1 + an*p0, где a0... an -- это цифры данного числа в системе счисления с основанием p.
Пожалуй, проще всего осуществляется перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2n, нужно
Двоично-шестнадцатеричная таблица
Двоично-восьмеричная таблица
Использование калькулятора Windows в инженерном виде:
|