Индуктивное сопротивление

Приложим переменное напряжение к катушке, пренебрегая активным сопротивлением (катушка выполнена из провода большого сечения).

По катушке будет протекать ток меньший, чем при постоянном токе из-за влияния ЭДС самоиндукции.

В момент времени t в цепи протекает ток

i = I_m sin ωt, а спустя очень малый промежуток времени ∆t ток будет равен

i + ∆i = I_m (sin ω (t + ∆t),

значит за это время ток изменится на величину

∆i = I_m (sin ω (t + ∆t) - sin ωt)

Синус суммы sin ω (t + ∆t) = sin ωt cos ω ∆t + cos ωt sin ω ∆t

Косинус очень малого угла ω ∆t примерно равен 1, а синус этого угла равен соответствующей дуге sin ω ∆t = ω ∆t. Поэтому получаем

∆i = I_m (sin ω t + ω ∆t cos ωt - sin ωt) = I_m ω ∆t cos ωt.

Скорость изменения синусоидального тока ∆i/∆t = I_m ω cos ωt, тогда

u = е_{L =} L I_m ω cos ωt = I_m ω L sin (ωt + 90⁰).

Напряжение измеряется в В, ток в А, тогда ω L измеряется в Омах и называется индуктивным сопротивлением

Х_L= ω L.

Индуктивное сопротивление возрастает с увеличением частоты тока.

В катушке будет наводиться ЭДС самоиндукции от изменения собственного магнитного потока. Эта ЭДС уравновешивает приложенное напряжение. По второму закону Кирхгофа в любой момент времени u + e = 0

Отсюда для мгновенных значений u = - e. В любой момент времени напряжение, приложенное к катушке, уравновешивается наведенной в ней ЭДС.

. Отсюда

Найдем производную тока

.

Тогда

С использованием формул приведения получаем

На катушке напряжение опережает ток на 90⁰ или ток отстает от напряжения на 90⁰. Нетрудно видеть, чтобы размерности левой и правой частей совпадали необходимо, чтобы Lω имела размерность В/А, а это Ом и обозначается X_L

X_L= ω L — индуктивное сопротивление. Индуктивное сопротивление зависит от частоты тока и от индуктивности. С увеличением частоты индуктивное сопротивление возрастает.

Отставание тока, изменяющегося по синусоиде, от напряжения, изменяющегося по косинусоиде, ясно видно из графиков (рис.1.3).

Рисунок 1.3 — Синусоиды тока и напряжения

Изображать переменный ток, переменное напряжение синусоидами громоздко. Поэтому синусоиду заменим вектором. Для этого изобразим синусоиду в функции угла поворота ротора генератора α = ωt. (рис. 1.4). Все турбогенераторы электростанций России вращаются с одинаковой частотой 50 об/с., что соответствует 50 периодам изменения синусоиды напряжения.

Рисунок 1.4 — Замена синусоиды вектором

Когда ωt = 0, вектор, равный амплитуде синусоиды, расположим горизонтально, направленный вправо. Мгновенные значения напряжений в любой момент времени будем определять, проектируя вектор на вертикальную ось (ордината вектора). Тогда мгновенное значение через 45⁰ синусоидальной величины будет равно ab. Но при повороте вектора на 45⁰ мгновенное значение (ордината)также равно ab. При повороте вектора на 90⁰ мгновенное значение равно амплитуде, то же самое отражается на синусоиде. Значит, любую синусоидальную величину можно заменить вращающимся вектором с частотой ω против часовой стрелки.

Промежуток времени, необходимый для совершения переменной ЭДС полного цикла (круга) своих изменений называется периодом колебаний или сокращенно периодом.

Размерность угловой частоты ω =360⁰ /Т, где Т =1/f — период колебания или полный цикл изменения мгновенных значений тока, напряжения и любой синусоидальной величины.

Угловую частоту выражают в радианах, 1 радиан = 57⁰ 17’, тогда окружность 360⁰ = 2π рад ≈ 6,28 рад..

ω = 2 π f; ω = 2 ∙3,14∙ 50 = 314 рад/с = 314 1/с.— это синхронная частота вращения ротора генератора и магнитного поля, создаваемого ротором. С такой частотой изменяется мгновенное значение синусоиды тока или напряжения в сети

Соотношение между синусоидальными различными электрическими величинами и их взаимное расположение на плоскости, выраженное графически в виде векторов, называется векторной диаграммой.

Рассмотрим цепочку, в которой к источнику напряжения U подключены активное сопротивление и катушка индуктивности.

Рисунок 1.5 — Подключение к источнику активного и индуктивного сопротивлений

Вектор тока направим горизонтально. В этом же направлении расположится вектор падения напряжения на активном сопротивлении U _R. На индуктивности ток отстает от напряжения U _L на 90⁰. Напряжение источника U _ИСТ получим в результате сложения векторов U _R и U _L

U = U _R + U _L.

Рисунок 1.6 — Векторы напряжений на активном и индуктивном сопротивлениях

Полученная диаграмма показывает, что в рассматриваемой цепи с катушкой индуктивности ток отстает от напряжения источника на угол φ.

На векторной диаграмме если

U _R = I R, то U _L = I Х _L,

Индуктивность катушки, находящейся в воздухе, является величиной постоянной и определяется конструкцией (числом витков, размерами катушки). А индуктивное сопротивление зависит от частоты тока и находится по выражению

.

Угол φ (см. рис.1.6) зависит от соотношения индуктивного и активного сопротивлений.

.

Кроме индуктивного сопротивления в электрических цепях следует учитывать другое реактивное — емкостное сопротивление, величина которого зависит от частоты и величины емкости

.

С увеличением частоты емкостное сопротивление конденсатора переменному току снижается. В отличии от индуктивности ток на емкости опережает напряжение. Обкладки конденсатора перезаряжаются каждый полупериод переменного напряжения.

Но, если к конденсатору подведено постоянное напряжение, (от аккумулятора), то после заряда ток через конденсатор не протекает.

Соотношение сопротивлений и мощностей на переменном токе

На переменном токе следует учитывать не только активное сопротивление проводников, но и реактивное (емкостное или чаще индуктивное). Из векторной диаграммы напряжений на активном и индуктивном сопротивлениях (см. рис.1.6) ясно, что векторы U _R и U _L расположены под 90⁰ друг относительно друга, а три вектора U _R, U _L и U _ИСТ образуют прямоугольный треугольник.

Угол φ показывает, насколько ток в сопротивлении Z отстает от напряжения. Величина cos φ называется коэффициентом мощности. Длины отрезков этого треугольника разделим на ток I, получим сопротивления R, X_L и Z, представляющие стороны также прямоугольного треугольника, из него получаем

,

где Z — полное сопротивление участка сети переменному току.

Рисунок 1.7 — Треугольник сопротивлений

Если известно активное сопротивление и угол φ, то Z = R/cos φ. Любой элемент сети, по которому протекает переменный ток, имеет приведенное соотношение сопротивлений. В комплексной форме соотношение сопротивлений записывается

Z = R + jX.

Активное сопротивление на переменном токе практически совпадает с сопротивлением на постоянном токе, поэтому его можно измерить омметром. А полное сопротивление переменному току вычисляют по закону Ома через измеренное напряжение и ток, а затем вычислить

Z = U_ПЕР /I_ПЕР.

Переменный ток в цепи с индуктивностью отстает от приложенного напряжения (см рис.1.6)). Построим векторную диаграмму напряжения U и тока I. Для удобства повернем векторную диаграмму напряжений так, чтобы вектор напряжения расположился вертикально. После этого разложим вектор тока на активную составляющую I_A и реактивную составляющую I_Р, получим треугольник токов (рис.1.8).

Рисунок 1.8 — Разложение тока на составляющие

Между активной составляющей и полным током на участке угол φ. Умножим каждую сторону треугольника токов на напряжение U, тогда стороны составят

,

где S — полная мощность; Р — активная мощность; Q — реактивная мощность.

Рисунок 1.9 — Соотношение мощностей

Из треугольника мощностей получаем вывод, что коэффициент мощности cos φ = P / S показывает, какую долю от полной мощности составляет активная мощность. На любом участке сети соблюдается соотношение

; ; .

Выпишем основные полученные выводы электротехники в виде формул и определений.

1. Закон Ома для участка ; для полной цепи ;

для полной цепи переменного тока

2. Первый закон Кирхгофа .

3. Второй закон Кирхгофа .

1. При параллельном включении двух сопротивлений:

для постоянного ; для переменного тока

2. При последовательном включении сопротивлений:

для постоянного тока ;

для переменного тока ,

где Z₁, Z₂ — комплексные сопротивления

3. При протекании тока в проводнике теряется мощность на нагрев

P = U I = I RI = I² R.

4. Работа, совершаемая элек. током, измеряется в Вт∙часах (кВт∙часах)

А = I² Rt.

5. Переменный ток формирует переменное магнитное поле, под действием которого в проводниках возникает ЭДС самоиндукции .

6. На активном сопротивлении вектор тока совпадает с вектором напряжения, приложенного к сопротивлению.

7. На индуктивности вектор (или синусоида) тока отстает от вектора (или синусоиды) напряжения на 90 градусов.

8. На емкости вектор (или синусоида) тока опережает напряжение на 90 градусов.

Вопросы

1. Что такое удельное сопротивление проводника?

2. От каких величин зависит активное сопротивление проводника?

3. От чего зависит индуктивное сопротивление проводника на переменном токе?

4. Как вычислить сопротивление четырех разных по величине сопротивлений, включенных параллельно?

5. Как соединяются лампы в квартире?

6. Что представляет собой треугольник сопротивлений?

7. Изобразить треугольник токов с переменным напряжением.

8. Что представляет собой треугольник мощностей?

Что такое коэффициент мощности?