Сколько раз в течение суток перекрываются часовая и минутная стрелки?

Большинство людей сразу же понимает, что ответ должен быть 24 плюс-минус. Все проблема как раз в том, чтобы вычислить этот плюс-минус.

Сначала обратите внимание, что перекрытие стрелок — это абсолютно предсказуемое явление. Обе стрелки движутся с постоянной скоростью, следовательно, интервал времени между двумя последовательными перекрытиями постоянный.

Этот постоянный интервал чуть более часа. В полночь часовая и минутная стрелки точно совпадают. Минутной стрелке требуется ровно шестьдесят минут, чтобы описать полный круг, за то же самое время часовая стрелка проходит 1/12 часть круга и находится на отметке 1 час. Чтобы добраться до отметки 1 час, минутной стрелке потребуется пять минут, но за это время часовая стрелка еще немного продвинется вперед…

Перед тем как увлечься обсуждением парадокса Зенона[146], давайте пока предположим, что между последовательными перекрытиями стрелок проходит чуть больше, чем 65 минут. Мы также знаем, что если умножить этот точный интервал на неизвестное целое число, должно получиться ровно двадцать четыре числа, так как каждые двадцать четыре часа часовая и минутная стрелки точно перекрываются на отметке 12. На самом деле это происходит каждые двенадцать часов — ведь путь, который стрелки проходят с полуночи до полудня, точно совпадает с путем, который они проходят с полудня до полуночи.

Давайте подробно проанализируем, что происходит за двенадцать часов с полуночи до полудня. За этот период стрелки не могут совпасть двенадцать раз — в этом случае интервал между совпадениями стрелок был бы 12/12 — или ровно один час, а мы знаем, что на самом деле он чуть больше, чем 65 минут. Следовательно, за этот период стрелки могут совпасть лишь 11 раз. Это значит, что продолжительность интервала между перекрытиями стрелок 12/11, или 65,45 минуты. Это и должен быть точный интервал, который мы не смогли вычислить чуть ранее. Умножив одиннадцать на два, мы получаем двадцать два перекрытия стрелок за двадцать четыре часа. Таким образом, двадцать два — это точный ответ, если только вы не захотите учитывать и совпадение стрелок в начале суток в полночь и в конце суток в следующую полночь — в этом случае ответом будет двадцать три.