Уровень «В» МКТ и ТД

1) **Плотность неизвестного газа r=0,09 кг/м³. При этом в объёме V=0,1 м³ содержится N=2,7 · 10²⁴ молекул. Рассчитав молярную массу газа, определите, какой это газ.

Дано: r=0,09 кг/м³,

V=0,1 м³,

N=2,7×10²⁴;

M=?

Решение. Значение молярной массы газа получим, используя выражение для количества вещества:

n= = Þ М=m

Масса газа т связана с занимаемым объемом и плотностью соотношением: m=rV. Окончательно получим:М=m = rV . Проведем вычисления: M= = 2×

Наименьшая молярная масса у атомарного водорода М_н= . Следовательно, неизвестный газ может содержать только два атома водорода. Это молекулярный водород Н₂.

2) **В баллоне объёмом V=10 л находится газ при температуре t=27 ^oС. Вследствие утечки газа давление снизилось на Δр=4,2 кПа. Сколько молекул ΔN вышло из баллона?

Дано: V=0,01м³

Т= (27+273)К

Δр=4,2×10³Па

ΔN=?

Решение: p=nkT = k×T,Þ N = . Найдем первоначальное и конечное число молекул в баллоне: N₁ = , N₂ = , тогда число молекул, покинувших баллон: DN=N₂-N₁= . Проведем вычисления:

DN= Ответ: из баллона вышло N= молекул.

3) **При повышении температуры идеального газа на DT₁=150 K средняя скорость движения его молекул увеличилась с υ₁=400 м/с до υ₂=500 м/с. На сколько еще нужно нагреть этот газ, чтобы увеличить среднюю скорость его молекул до υ₃=600 м/с?

Дано: DT₁=150 K

υ₁=400 м/с

υ₂=500 м/с

υ₃=600 м/с

DТ₂ =?

Решение: p=nkT= n Þ Т= . Здесь k=1,38×10^-23 – постоянная Больцмана. Тогда Т₁= Т₂= ; Т₃= . Сейчас можно выразить изменение температуры согласно условия задачи DT₁=Т₂–Т₁= - = DТ₂=Т₃–Т₂= = .

Разделим первое уравнение на второе: = , Þпосле сокращения получим DТ₂=DT₁× . Проведем вычисления: DТ₂=150K× » 183,33K.

Ответ: DТ₂=DT₁× =183,33 K

4)

V₁=240 × 10^-9 м³

V₂=200 × 10^-9 м³

r=13600

p₀=?

Решение .Воздух, запертый столбиком ртути в трубке, имеет постоянную массу и температуру, значит, длянего можно использовать закон Бойля-Мариотта: m, T=const, ÞpV=const. Выразим начальное и конечное давление воздуха в трубке: в горизонтальной трубке на столбик ртути слева и справа давления одинаковы, иначе столбик будет смещаться до тех пор, пока давления не выровняются p₁=p_0, здесь p₀– атмосферное давление; когда трубка вертикальна, на воздух давят атмосфера и столбик ртути, значит, p₂=p₀+rgl

Итак, p₁V₁=p₂V₂ или p₀V₁=(p₀+rgl)×V₂. Раскроем скобки и выразим p₀:

p₀V₁=p₀V₂+rgl×V₂, Þp₀V₁-p₀V₂=rgl×V₂, Þp₀(V₁-V₂)=rgl×V₂, Þ .Найдем это давление:

p₀= = 102×10³Па

Ответ: p₀= 102кПа

5) **В вертикальном цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем находится 2 молягелия и 1 моль молекулярного водорода. Температуру смеси увеличивают в два раза. При этом весь водород распадается на атомы. Во сколько раз увеличивается объем газа под поршнем?

Дано: =2 моль

=1моль

Т₂=2Т₁

=?

Решение. Для газов в сосуде используем уравнение Менделеева-Клапейронаp₁V₁=ν₁RT₁для гелия и p₂V₁=ν₂RT₁ для молекулярного водорода. Согласно закону Дальтона р=р₁+р₂= .

По условию задачи поршень подвижен, значит, при увеличении температуры смеси в начальный момент давление начнет увеличиваться, газ будет давить на поршень снизу, поднимая его до тех пор, пока давление смеси не станет равным первоначальному. Ведь на смесь давление сверху не меняется (давление атмосферы плюс давление самого поршня).

Так как H₂ распался на атомы, то количество частиц увеличилось в 2 раза. Следовательно, количество вещества тоже увеличилось в 2 раза: =2 Для нагретой смеси по закону Дальтона аналогично: р=р¢₁+р¢₂= . Тогда можно приравнять правые части выражений для обоих давлений смеси: Þ или . Ответ:

6) **Сосуд объемом V=20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t=20 °С и давлении p=2 атм. Масса смеси m=5 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в смеси.

Решение. Запишем уравнения состояния для водорода и гелия: р₁V=(m₁/M₁)×RT и р₂V=(m₂/M₂)×RT.

По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений этих газов в отдельности: р=р₁+р₂ и так как из уравнений состояния водорода и гелия для давлений имеем р₁= и р₂= , то общее давление смеси газов: р= + = . Но т=т₁+т₂, тогда р= . Отсюда

Þ .

Далее находим т₂, она равна т₂=т-т₁=m- =

.

Теперь найдем отношение И выполним расчеты: ,Þ

∙ »0,458, Þ

7) **Изобразите на р-Т диаграмме процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 4, если известно что в процессе изобарного нагревания температура газа увеличивается в п=3 раза.

1) 1-2 - изохора, Þ V=const, р/T=const, тогда р ↓-ся и T ↓-ся;

2-3 - изобара,Þ р=const, V/T=const, тогда T ↑-ся и V ↑-ся;

3-4 - изохора,Þ V=const, р/T=const, тогда T ↑-ся и р ↑-ся;

4-1 - изобара,Þ р=const, V/T=const, тогда T ↓-ся и V ↓-ся.

2-3 – изобара, где температура увеличивается в3 раза, р=const, =>V₂/V₃=T₂/T₃=T₂/3T₂, =>V₃=3V₂,=>T₁=T₃=3T₂. Рисунок для ответа смотри справа.

8)

Решение. Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона отсюда m. Если с учетом условия выражение то отношение пропорционально массе газа: Но отношение представляет собой тангенс угла наклона a линии,проходящей через «0» и точку 1 (2 или 3), описывающую состояние газа, занимающего постоянный объем. Из курса математики известно, что чем больше угол наклона, тем тангенс этого угла больше. По диаграмме очевидно, что a₂>a₃>a₁, Þtga₂>tga₃>tga₁, Þ Þm₂>m₃>m₁.Итак, наибольшую массу m газ имеет в состоянии 2. Ответ: наибольшую массу m газ имеет в состоянии 2

9)

Решение. Согласно графику процесса участки 2-3 и 4-1 – изотермы, тогда согласно закону Бойля-Мариоттаp₂V₂=p₃V₃(1) и p₄V₄=p₁V₁(2). Линии 1-2 и 4-3 проходят через «0», значит, на этих участках давление прямо пропорционально его объему p~V, т.е. (3) и (4).

Так как вопрос задачи касается объема, значит необходимо из уравнений 1-4 исключить давления. Это можно сделать самыми разными способами. Например, найдем p₂из уравнения (3): Аналогично, из уравнения (4) найдемp₃: Подставим эти значения в уравнение (1): или (*). Обратим внимание, что в уравнение (2)входят теже величины: p₁V₁=p₄V₄. (**) Разделим уравнение (*) на уравнение (**): Отсюда после сокращения давлений получаем: Извлекая корни из левой и правой частей равенства с учетом условияV₂=V₄, получим: Ответ:

10) ** Какое количество природного газа надо сжечь, чтобы m₁=4 кг льда при t₁=-10 ^oС обратить в пар с температурой t₂=100 ^oС? КПД нагревателя η=60 %. Удельная теплота сгорания природного газа q=34 МДж/кг. Удельные теплота плавления льда λ=330 кДж/кг, теплота парообразования для воды L=2,25 МДж/кг и теплоемкость воды c=4200 Дж/(кг · К).

Решение. Согласно определению коэффициента полезного действия .

Выполним расчеты:

Ответ: »0,592 кг.

11) **В медный сосуд, нагретый до температуры t₁=350 ^oС, положили m₂=600 г льда при температуре t₂=-10 ^oС. В результате в сосуде оказалось m₃=550 г льда, смешанного с водой. Определить массу сосуда m₁.

Решение. Согласно условию в сосуде оказались лед с водой, это значит, что конечная температура содержимого сосуда равна t=0°C. Используем уравнение теплового баланса для описанной ситуации: , Þ отсюда можно выразить массу сосуда m₁: Выполним расчеты:

Ответ: 0,213 кг.

12) **На сколько изменится масса и внутренняя энергия воздуха в комнате при повышении температуры в ней от t₁=10 ^oС до t₂=50 ^oС? Давление p=10⁵ Па. Объём воздуха в комнате V=100 м³.

Решение. 1) Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона отсюда Тогда изменение массы воздуха при повышении температуры воздуха в комнате . Выполним расчеты: .

2) Чтобы определить, как изменится внутренняя энергия воздуха в комнате, используем формулу для внутренней энергии идеального газа: Учтем, что объем комнаты не меняется при нагревании воздуха, как и давление в ней, потому что оно всегда равно давлению внешнему, то есть V₁=V₂и р₁=р₂. Дело в том, что комната - не герметичная система, и нагрев получается изобарическим. Воздух при нагреве будет расширяться и уходить на улицу, унося тепло, полученное при нагревании. Итак,

13) **Некоторая масса газа, занимающего объём V₁=0,01 м³, находится под давлением p=1·10⁵ Па при температуре T₁=300 K. Газ нагревают при постоянном объёме до температуры T₂=320 K, а затем при постоянном давлении до температуры T₃=350 K. Найти работу, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 3. (см. рис.7)

Решение. По графику зависимости давления от объема p(V)можно найти работу, совершаемую газом, как площадь фигуры под этим графиком p(V), ограниченной снизу осью объема.

Тогда А_1-3=р₂×(V₃-V₁). На участке 1-2 V₁=V₂, значит, газ работу не совершает. Согласно закону Шарля На участке 2-3 р₂=р₃, значит, по закону Гей-Люссака . Эти выражения для давления р₂и объема V₃ подставим в формулу для работы газа: А_1-3=р₂×(V₃-V₁)= ×( -V₁), но V₁=V₂, тогда А_1-3= ×( -V₁)= ×( -1)= Выполним расчеты: А_1-3=

14) ** Два моля идеального одноатомного газа сначала изобарно нагрели, а затем изохорно охладили до первоначальной температуры как показано на рисунке 8. Какое количество теплоты сообщено газу при нагревании? Начальная температура газа Т = 400 К, давление газа при охлаждении уменьшилось в три раза.

Решение. По графику