Інформаційний обсяг навчальної дисципліни

1. ПМ.01.01. ПЛАНІМЕТРІЯ

ПМ.01.01.01 ОСНОВИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Теореми, аксіоми, означення. Необхідна і достатня умови. Доведення теореми від супротивного.

Пряма лінія, промінь, відрізок, кути і їх вимірювання. Перпендикуляр коротше похилої, а відрізок коротше ламаної. Кути з паралельними сторонами. Кути з взаємно перпендикулярними сторонами.

Паралельні прямі, аксіома паралельності, ознаки паралельності прямих.

Теорема Фалеса. Поділ відрізка у заданому відношенні. Поділ відрізка у середньому і крайньому відношенні (Золотий поділ відрізка).

Стандартний прямокутник. Подати геометричне доведення тотожностей:

та .

Ізопериметрична задача. Задача Дідони. Елементи теорії графів. Проблема чотирьох фарб.

ПМ.01.01.02 ТРИКУТНИКИ

Залежності між сторонами трикутника. Ознаки рівності трикутників. В трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона. Сума кутів трикутника (Друга теорема Піфагора). Висоти, медіани та бісектриси трикутника, їх означення та головні властивості. Теорема про те, що висоти (медіани, бісектриси) трикутника перетинаються в одній точці. Медіани у точці перетину діляться у відношенні 2:1. Медіани розбивають трикутник на шість рівновеликих трикутників. Висоти трикутника у точці перетину утворюють шість кутів, попарно рівних кутам цього трикутника. Відрізки, що сполучають основи висот гострокутного трикутника, утворюють трикутник, бісектрисами якого є висоти даного.

Довести, що з усіх трикутників, вписаних у даний гострокутний трикутник, ортоцентричний (вершини якого співпадають з основами висот даного трикутника) має найменший периметр.

Обчислення довжин висот, медіан та бісектрис трикутника в залежності від його сторін.

Довести, що .

Середня лінія трикутника та її властивості.

Теорема про зовнішній кут трикутника та наслідки з неї.

Подібність трикутників. Ознаки подібності трикутників, ознаки подібності прямокутних трикутників. Ортоцентр, центроїд (точка перетину медіан) і центр описаного навколо довільного трикутника кола лежать на одній прямій (пряма Ейлера). Центроїд ділить відрізок між центром вписаного кола і ортоцентром відповідно у відношенні 2:1.

Середини сторін трикутника, основи його висот і середини відрізків висот, які сполучають його вершини з ортоцентром, лежать на одному колі (коло дев’яти точок, або коло Ейлера). Радіус цього кола вдвічі менший за радіус описаного навколо трикутника кола. Коло Ейлера дотикається до вписаного і зовні вписаних кіл трикутника, а його центр лежить на прямій Ейлера і ділить відрізок між центром вписаного кола і ортоцентром навпіл.

Теорема про бісектрису внутрішнього та зовнішнього кутів трикутника. Кут між бісектрисами внутрішнього та зовнішнього кутів при одній вершині.

Узагальнена теорема синусів:

.

Теорема косинусів:

Вписане та описане коло трикутника. Зовнівписане коло.

Довести, що в довільному трикутнику мають місце співвідношення між його елементами:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6.

В прямокутному трикутнику сума діаметрів вписаного і описаного кіл дорівнює сумі катетів.

Довести, що в довільному трикутнику відстань d між центрами вписаного та описаного кіл визначається за формулою: (формула Ейлера).

Довести, що в довільному трикутнику відстань d між центрами вписаного і зовні вписаного кіл визначається за формулою: , де r – радіус відповідного зовні вписаного кола.

Довести, що радіус вписаного в трикутник кола не перевищує половину радіусу описаного навколо нього кола. Прямокутні трикутники. Теорема Піфагора (пряма і обернена) та її наслідки. Довести, що в довільному прямокутному трикутнику куб його гіпотенузи більше суми кубів його катетів. В прямокутному трикутнику сума катетів дорівнює сумі діаметрів вписаного та описаного кіл. Середнє пропорційне та його зв’язок з прямокутним трикутником. Довести, що в прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить навпіл кут між медіаною та бісектрисою, проведеними до гіпотенузи.

Для довільного трикутника виконується рівність:

,

де O – центр вписаного кола, а H – ортоцентр трикутника.

Пряма та обернена теорема Менелая.

1. Якщо деяка пряма не проходить через вершини трикутника ABC, але перетинає його сторони BC, CA, AB або їх продовження відповідно в точках L, M, N, то має місце рівність:

.

2. Якщо точки L, M, N, які не співпадають з вершинами трикутника ABC, але лежать відповідно на його сторонах BC, CA, AB або їх продовження відповідно і має місце рівність:

,

то ці три точки лежать на одній прямій.

Пряма та обернена теорема Чеви.

Центр ваги суцільного чи каркасного однорідного трикутника.

ПМ.01.01.03. МЕТОД ПЛОЩ

Обчислення площі трикутника:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) та інші.

Довести, що сума відстаней від довільної точки в середині правильного трикутника до його сторін дорівнює його висоті. Довести, що сума відстаней від довільної точки основи рівнобедреного трикутника до його сторін, дорівнює висоті, яку проведено до бічної сторони. Довести, що точки симетричні ортоцентру гострокутного трикутника відносно його сторін лежать на описаному колі.

ПМ.01.01.04 МНОГОКУТНИКИ

Паралелограм, його властивості. Ознаки паралелограма. Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Площа паралелограма та її обчислення.

Ромб і квадрат. Трапеція. Середня лінія трапеції та її властивості. Площа трапеції та її обчислення. Довести, що у довільній трапеції середини непаралельних сторін і діагоналей належить одній прямій. Довести, що у довільній трапеції середини основ, точка перетину її діагоналей та точка перетину бічних сторін належить одній прямій. Довести, що в довільній трапеції відрізок, який сполучає середини її діагоналей, дорівнює піврізниці основ трапеції і їм паралельний. Довести, що в довільній трапеції відрізок паралельний основі з кінцями на її бічних сторонах в точці перетину діагоналей ділиться навпіл.

В трапеції можна вказати чотири відрізки, які паралельні основам з кінцями на бокових сторонах, довжини яких дорівнюють відповідним середнім основ:

Відрізок, паралельний основі трапеції з кінцями на бічних сторонах	Довжина відповідного відрізка в залежності від довжин основ трапеції a і b	Назва відповідної середньої
Відрізок, який проходить через точку перетину діагоналей		середнє гармонічне
Відрізок, який ділить трапецію на дві подібні трапеції		середнє геометричне
Середня лінія трапеції		середнє арифметичне
Відрізок, який ділить площу трапеції на дві рівновеликі частини		середнє квадратичне
Співвідношення між відповідними середніми:

Площа чотирикутника обчислюється за формулою:

.

Довести, що в опуклому чотирикутнику відрізки, які сполучають відповідно середини його протилежних сторін і середини діагоналей перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

Сума кутів опуклого n-кутника. Теорема Варіньйона: відрізки, що сполучають послідовно середини сторін чотирикутника, утворюють паралелограм.

ПМ.01.01.05 КОЛО І КРУГ

Означення кола, основні властивості. Дотичні до кола. Діаметр, перпендикулярний до хорди. Вимірювання кутів, пов’язаних з колом: центральні, вписані кути і кути, сторони яких (або їх продовження) перетинають коло.

Довжина кола, площа круга, сектора і сегмента.

Теорема про січну та дотичну.

Теорема про хорди в колі, які перетинаються (пряма і обернена теорема).

У всякому описаному навколо кола чотирикутнику суми довжин протилежних сторін рівні. У всякому вписаному в коло чотирикутнику суми протилежних його кутів рівні 180^о.

Для того, щоб навколо чотирикутника можна було описати коло, необхідно і достатньо, щоб добуток його діагоналей дорівнював сумі добутків його протилежних сторін (пряма і обернена теорема Птолемея).

Теорема Брахмагупти: площа вписаного в коло чотирикутника може бути обчислена за формулою:

,

а у випадку, коли коло одноразово і вписане в інший чотирикутник маємо:

.

Два різних кола не можуть мати більше двох спільних точок.

Площу описаного навколо кола многокутника можна обчислити за формулою:

,

де r – радіус кола, а р – його півпериметр.

Коло Аполлонія. Кола Форда.

Основи перпендикулярів, які опущені з довільної точки кола на сторони вписаного в нього трикутника, лежать на одній прямій (коло Симпсона).

ПМ.01.01.06 КООРДИНАТНИЙ МЕТОД НА ПЛОЩИНІ

Декартові координати на площині. Віддаль між двома точками.

Координати векторів. Скалярний добуток векторів у координатній формі.

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках. Кутовий коефіцієнт прямої, кут між двома прямими. Криві на площині, рівняння дотичної в даній точці.

ПМ.01.01.07 ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ

Вектори, їх властивості, операції над векторами.

Скалярний добуток векторів та його застосування.

Рух площини. Паралельний переніс, центральна і осьова симетрія, обертання, гомотетія.

ПМ.01.02. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ НА ПЛОЩИНІ

ПМ.01.02.01 ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КОНСТРУКТИВНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Поняття конструктивної задачі на площині. Аксіоми конструктивної геометрії. Аксіоми циркуля і лінійки. Загальна схема розв’язку конструктивної задачі: аналіз, побудова, доведення та дослідження. Зміст кожного етапу розв’язку задачі та його особливості.

ПМ.01.02.02 ЕЛЕМЕНТАРНІ ТА НАЙПРОСТІШІ ПОБУДОВИ НА ПЛОЩИНІ ЗА ДОПОМОГОЮ ЦИРКУЛЯ ТА ЛІНІЙКИ

· поділити даний відрізок навпіл;

· побудувати перпендикуляр до даної прямої у даній точці;

· через дану точку провести пряму, паралельну даній прямій;

· поділити даний відрізок на задану кількість рівних частин;

· поділити даний відрізок у заданому відношенні;

· провести перпендикуляр з даної точки на дану пряму;

· поділити даний кут навпіл;

· побудувати кути в 30^о, 45^о та 60^о;

· при даній вершині і даному проміні побудувати кут, рівний даному куту;

· побудувати трикутник по трьом його сторонам;

· провести коло, яке проходить через три дані точки;

· побудувати коло, вписане в даний трикутник;

· побудувати коло даного радіуса, яке проходить через дві дані точки;

· побудувати центр даного кола;

· побудувати центр даної дуги кола;

· розділити дану дугу кола на дві рівні частини;

· побудувати коло, описане навколо правильного многокутника;

· побудувати коло, вписане в правильний многокутник;

· провести з даної точки дотичну до даного кола;

· побудувати спільну дотичну до двох даних кіл;

· побудувати геометричне місце точок, які ділять навпіл хорди, що виходять з однієї точки кола;

· знайти геометричне місце точок, відстані яких до двох даних точок знаходяться у даному відношенні;

· побудувати геометричне місце точок, з яких даний відрізок видно під даним кутом.

ПМ.01.02.03 МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНСТРУКТИВНИХ ЗАДАЧ

Основні методи розв’язання конструктивних задач та їх особливості: метод перетворень, метод геометричних місць точок та алгебраїчний метод. Основна теорема конструктивної геометрії. Елементарні побудови відрізка х по заданим відрізкам a, b, c, d,..., якщодовжина відрізка х пов’язана з довжинами заданих відрізків формулою:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ,

та деякі більш складні побудови:

6) ;

7) ;

8)

9) ;

10) ;

11) та інші.

По заданим відрізкам a, b, c, d,... побудувати кут a, якщо:

1) ;

2) ;

3) , і A – деякий даний кут;

4) та інші.

ПМ.01.02.03 КЛАСИЧНІ ЗАДАЧІ КОНСТРУКТИВНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Класичні конструктивні задачі, які не розв’язуються за допомогою циркуля та лінійки: подвоєння кубу, квадратуру круга, трисекція кута та побудова правильних многокутників. Геометричні побудови на площині з застосуванням інших, крім циркуля та лінійки, інструментів.

ПМ.01.03 СТЕРЕОМЕТРІЯ

ПМ.01.03.01 ПРЯМІ ТА ПЛОЩИНИ

Кут між прямою та площиною. Кут між двома площинами. Паралельність прямої і площини. Ознака паралельності. Ознака перпендикулярності прямої та площини. Ознака паралельності площин. Необхідна та достатня умови паралельності площин. Теорема про три перпендикуляри. Теорема Фалеса у просторі.

Задачі на побудову у просторі.

Теорема Піфагора у просторі.

Якщо пряма L утворює з трьома взаємно перпендикулярними прямими кути a, b, і g, то .

ПМ.01.03.02 МНОГОГРАННИКИ

Призма та паралелепіпед. Об’єм і площа поверхні. Діагональ прямокутного паралелепіпеда d зв’язана з його ребрами a, b, c співвідношенням: .

Піраміда. Правильна піраміда. Об’єм і площа поверхні. Зрізана піраміда. Формула для обчислення об’єму зрізаної піраміди:

.

В частинному випадку бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему.

Об’єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди обчислюється за формулою:

.

Площа поверхні та об’єм правильної піраміди. Площа поверхні піраміди, у якої всі грані мають однаковий нахил до основи: , де – площа основи. Подібність многогранників.

Правільні многогранники. Теорема Ейлера для многогранників. Протилежні ребра правільного тетраедра ортогональні. У тетраедрі сума відстаней від довільної внутрішньої точки до його граней є стала величина.

ПМ.01.03.03 КРУГЛІ ТІЛА

Конічні та циліндричні поверхні. Циліндр та конус. Об’єм і площа поверхні.

Зрізаний конус. Об’єм і площа поверхні. Сфера і куля, їх властивості. Площа сферичної поверхні та її частин. Об’єм кулі та її частин. Вписана та описана сфера, її властивості (конус, циліндр, піраміда і призма). Перша теорема Гюльдена. Друга теорема Гюльдена.

ПМ.01.03.04 ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ

Додавання та віднімання векторів. Множення вектора на число. Лінійна залежність векторів. Розкладання вектора на компоненти. Проекція вектора на вісь. Координати вектора на площині та у просторі. Скалярний добуток двох векторів. Обчислення довжини вектора. Кут між двома векторами. Застосування скалярного добутку векторів до розв’язання геометричних задач.

ПМ.01.03.05 КОРДИНАТНИЙ МЕТОД У ПРОСТОРІ

Прямокутна декартова система координат на площині. Полярна система координат. Залежність між прямокутними та полярними координатами. Прямокутна декартова система координат у просторі. Рівняння прямої на площині. Різні способи завдання рівняння прямої на площині. (Рівняння прямої у відрізках, рівняння прямої, що проходить через дві дані точки і т.п.). Кутовий коефіціент прямої. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої. Коло, еліпс, гіпербола та парабола. Прямі і площини у просторі. Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини. Поверхні у просторі. Рівняння сфери, тору. Еліпсоїда.

ПМ.01.04 ЗОБРАЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР У ПАРАЛЕЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ

(Розділ вивчається в курсі «Проективна геометрія і методи зображень»)

Означення зображення геометричної фігури у паралельній проекції.

Властивості зображень у паралельній проекції:

· зображенням точки є точка;

· зображенням прямої є пряма;

· зберігається належність точки до прямої;

· зберігається паралельність прямих;

· зберігається відношення паралельних відрізків;

· зображенням довільного трикутника може служити довільний інший трикутник;

· зображенням кола може служити довільний еліпс;

· зображенням довільного тетраедра може служити довільний чотирикутник разом з його діагоналями (теорема Польке-Шварца).

· («антівластивості паралельного проектування») при паралельному проектуванні лінійні розміри фігури, кути та площі фігур у загальному випадку не зберігаються.

Зображення многокутників: паралелограма, квадрата, ромба та правильного шестикутника. Зображення кола, побудова його центру та спряжених діаметрів. Побудова зображення дотичної до кола у даній точці. Побудова зображень вписаного (або описаного) правильного трикутника, квадрата, прямокутника, правильного п’ятикутника, шестикутника або восьмикутника.

Побудова зображень піраміди, призми, циліндра та конуса. Зображення сфери, паралелі та меридіани, екваторіальна площина та її полюси.

Пряма та обернена теорема Дезарга.

Метричні та позиційні задачі на проекційному кресленні.

Побудова перетинів многогранників, циліндрів та конусів площинами по заданим елементам (три точки, точка і пряма і т.п.).