В2. Высота правильной шестиугольной призмы равна , а площадь основания . Найдите длину большей диагонали призмы

правильная шестиугольная призма; в основании правильный шестиугольник со стороной . . Проведём из вершины диагонали и оценим их длины

. Угол . По теореме косинусов найдём :

Сравним . Значит, большая диагональ это

так как проекция наклонной большая.

Найдём площадь правильного шестиугольника :

. Выразим сторону шестиугольника:

Рассмотрим треугольник прямоугольный, так как призма правильная, по теореме Пифагора найдём искомую диагональ:

Основные формулы стереометрии
Призма	Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней: , где - площадь полной поверхности призмы; площадь боковой поверхности призмы; - площадь основания призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: . Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: . Объем куба равен кубу его ребра: . Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту: .
Пирамида	Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. , где площадь полной поверхности пирамиды; площадь боковой поверхности пирамиды; площадь основания пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: . Для правильной угольной пирамиды со стороной основания и апофемой : . Площадь боковой поверхности пирамиды, в которой все двугранные углы при основании равны , вычисляется по формуле: , где площадь основания пирамиды.
Усеченная пирамида	Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. , где площадь полной поверхности усеченной пирамиды; площадь боковой поверхности усеченной пирамиды; площади оснований усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему: , где периметры оснований, апофема. , где площади основа­ний усеченной пирамиды
Цилиндр	Площадью боковой поверхности цилиндра называется площадь ее развертки: , где высота цилиндра, длина окружности основания цилиндра. Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований: .
Конус	Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле , где радиус основания конуса, длина его образующей. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания: . .
Усеченный конус	Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле , где и радиусы оснований, образующая усеченного конуса. Площадь полной поверхности усеченного конуса с образующей и радиусами оснований и вычисляется по формуле .
Шар	Объем шара с диаметром вычисляется по формуле: . Площадь сферы радиуса вычисляется по формуле: .
Шаровой сегмент
Шаровой сектор
Шаровой слой
Основные формулы планиметрии, используемые для решения стереометрических задач
Произвольный треугольник высота к стороне ; радиус описанной окружности; радиус вписанной окружности; полупериметр.	Теорема синусов: . Теорема косинусов: . Площадь треугольника: (формула Герона). Формулы радиусов: .
Прямоугольный треугольник радиус описанной окружности; радиус вписанной окружности.	Теорема Пифагора: . Тригонометрические функции: . Формулы радиусов: . Площадь: . Метрические соотношения: .
Равносторонний треугольник	Формула высоты: . Площадь: Формулы радиусов:
Произвольный параллелограмм диагонали; угол между диагоналями.	Связь между диагоналями и сторонами: . Площадь:
Прямоугольник	Площадь: . Радиус описанной окружности:
Ромб диагонали.	Площадь: . Радиус вписанной окружности: .
Квадрат	Площадь: . Формулы радиусов: .
Трапеция	Площадь: . диагонали; угол между диагоналями.
Правильная пирамида
S a h F K B O H E C D A
Правильная треугольная пирамида
A	H – высота, h – апофема а – сторона основания AB = BC = AC = a (в основании – правильный треугольник)
Правильная четырехугольная пирамида
Р K h a H O D В А С
H – высота, h – апофема; а – сторона основания AB = BC = CD = DA = a (в основании – квадрат); К – середина DC.
Правильная шестиугольная пирамида
S H a F h K E О D С В А
Усеченная пирамида
А А А А P O PA1A2…An– произвольная пирамида; α – плоскость основания; β – секущая плоскость; PB1B2…Bn– пирамида; B1B2…Bn– верхнее основание; A1A2…An– нижнее снование; A1B1B2A2; …; AnBnB1A1–боковые грани – трапеции; A1B1; A2B2; …; AnBn– боковые ребра; OO1= H – высота
Правильная треугольная усеченная пирамида – боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
Δ ABC и Δ A1B1C1– равносторонние треугольники. OO1 = H – высота; КК1= h – апофема.     С a b А H h M О K В
Правильная четырехугольная усеченная пирамида – боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
D a b O K h H B C А
ABCD и A1B1C1D1– квадраты OO1= H – высота KK1= h – апофема
Правильные многоугольники
					Связь м/у

Геометрическая комбинация «цилиндр — призма»
Свойства цилиндра, описанного около призмы	Цилиндр можно описать около прямой призмы, если ее основание - многоугольник, около которого можно описать окружность. При этом ради­ус цилиндра равен радиусу этой окружности. Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований. При этом боковые ребра призмы являются образующими цилиндра и также равны .
Свойства цилиндра, вписанного в призму	Цилиндр можно вписать в прямую призму, если ее основание - многоугольник, в который можно вписать окружность. При этом радиус цилиндра равен радиусу этой окружности. Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания. При этом образующие цилиндра, соединяющие соответствующие точки касания, лежат на боковых гранях призмы и также равны .
Геометрическая комбинация «конус-пирамида»
Определение конуса, описанного около пирамиды	Конус называется описанным около пирамиды, если его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса описано около основания пирамиды. При этом пирамида называется вписанной в конус.
Свойства конуса, описанного около пирамиды	Конус можно описать около пирамиды, если ее основание - многоугольник, около которого можно описать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности. Радиус основания конуса равен радиусу этой окружности, а высоты конуса и пирамиды совпадают. При этом боковые ребра пирамиды являются образующими конуса.
Определение конуса, вписанного в пирамиду	Конус называется вписанным в пирамиду, если его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса вписано в основание пирамиды. При этом пирамида называется описанной около конуса.
Свойства конуса, вписанного	Конус можно вписать в пирамиду, если ее основание - многоугольник, в который можно вписать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности. Радиус основания конуса равен радиусу этой окружности, а высоты конуса и пирамиды совпадают. При этом высоты боковых граней пирамиды являются образующими конуса.
Геометрическая комбинация «шар — цилиндр»
Определение цилиндра, вписанного в шар	Цилиндр называется вписанным в шар,если его основания являются сечениями шара. При этом шар называется описанным около цилиндра.
Свойства цилиндра, вписанного в шар	Шар можно описать около любого прямого кругового цилиндра. Центр шара лежит на середине высоты цилиндра, соединяющей центры его оснований. Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, вписанным в большой круг шара. Радиус шара , радиус цилиндра и высота цилиндра связаны соотношением: .
Определение цилиндра, описанного около шара	Цилиндр называется описанным около шара, если шар касается оснований цилиндра в их центрах и боковой поверхности цилиндра по окружности большого круга шара, параллельной основаниям цилиндра. При этом шар называется вписанным в цилиндр.
Свойства цилиндра, вписанного в шар	Шар можно вписать только в равносторонний цилиндр (т. е. в цилиндр, в котором высота равна диаметру основания). Центр шара лежит на середине высоты цилиндра, соединяющей центры его оснований. Осевое сечение цилиндра является квадратом, в который вписан большой круг шара. Радиус шара равен радиусу цилиндра и составляет половину высоты цилиндра : .
Геометрическая комбинация «шар — конус»
Определение конуса, вписанного в шар	Конус называется вписанным в шар, если вершина конуса лежит на поверхности шара, а его основание является сечением шара. При этом шар называется описанным около конуса.
Свойства конуса, вписанного в шар	Шар можно описать около любого конуса. Центр шара лежит на оси конуса и является центром окружности, описанной около осевого сечения конуса. Радиус шара , радиус основания конуса и высота конуса связаны соотношением: .
Замечание. В некоторых задачах, связанных с конусом, вписанным в шар, необходимо рассматривать два случая: (центр шара лежит внутри конуса) и (центр шара лежит на продолжении высоты конуса вне конуса). В случае центр шара является центром основания конуса.
Определение конуса, описанного около шара	Конус называется описанным около шара, если шар касается основания конуса в его центре и боковой поверхности конуса по окружности, параллельной основанию конуса. При этом шар называется вписанным в конус.
Свойства конуса, описанного около шара	Шар можно вписать в любой конус. Центр шара лежит на оси конуса и является центром окружности, вписанной в осевое сечение конуса. Радиус шара , радиус основания конуса и высота конуса связаны соотношением: .
Геометрическая комбинация «шар — призма»
Определение призмы, вписанной в шар	Призма называется вписанной в шар,если все ее вершины лежат на поверхности шара. При этом шар называется описанным около призмы.
Свойства призмы, вписанной в шар	Шар можно описать около прямой призмы, если около ее оснований можно описать окружности. Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры этих окружностей. При решении задач обычно рассматривают сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и боковое ребро призмы. Радиус шара , высота призмы и радиус окружности, описанной около основания призмы, связаны соотношением: .
Определение призмы, описанной около шара	Призма называется описанной около шара, если все ее грани касаются поверхности шара. При этом шар называется вписанным в призму.
Свойства призмы, описанной около шара	Шар можно вписать в прямую призму, если в ее основания можно вписать окружности, а высота призмы равна диаметрам этих окружностей. Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры этих окружностей. При решении задач обычно рассматривают сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и перпендикулярной к боковой грани призмы. Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы, и составляет половину высоты призмы : .
Геометрическая комбинация «шар — пирамида»
Определение пирамиды, вписанной в шар	Пирамида называется вписанной в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара. При этом шар называется писанным около пирамиды.
Свойства правильной пирамиды, вписанной в шар	Шар можно описать около любой правильной пирамиды. Центр шара лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды, и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой - высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности.
При решении задач обычно рассматривают сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и боковое ребро пирамиды. Радиус шара , высота пирамиды и радиус окружности, описанной около основания пирамиды, связаны соотношением: .
Замечание. В некоторых задачах, связанных с пирамидой, вписанной в шар, необходимо рассматривать два случая: (центр шара лежит внутри пирамиды) и (центр шара лежит на продолжении высоты пирамиды вне пирамиды). В случае центр шара совпадает с основанием высоты пирамиды.
Определение пирамиды, описанной около шара	Пирамида называется описанной около шара, если все ее грани касаются поверхности шара. При этом шар называется вписанным в пирамиду.
Свойства правильной пирамиды, описанной около шара	Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является апофема правильной пирамиды, а высотой - высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности. При решении задач обычно рассматривают сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и апофему пирамиды. Радиус шара , высота пирамиды и радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, связаны соотношением:

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Понятие вектора в пространстве
Определение вектора	Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом. Вектор, начало и конец, которого совпадают, называется нулевым. Все обозначения для векторов в пространстве совпадают с аналогичными обозначениями на плоскости.
Определение длины вектора	Длиной (абсолютной величиной, модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Длина нулевого вектора считается равным нулю.
Определение коллинеарных сонаправленных и противоположно направленных векторов	Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы и называются сонаправленными,если они коллинеарны и лучи и сонаправлены . Векторы и называются противоположно направленными, если они коллинеарны и лучи и несонаправлены .
Полезная задача	Докажите, что точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Определение равных векторов	Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны: .
Опорная задача (о векторе равном данному)	От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
2. Действия с векторами
Правила сложения векторов для коллинеарных векторов	1. Правило треугольника: . Для любых трех точек имеет место равенство . 2.Правило параллелограмма (для двух неколлинеарных векторов): . 3. Правило многоугольника (для нескольких векторов): . Если – произвольные точки, то .
Свойства сложения векторов	Для любых векторов : 1) (переместительный закон); 2) (сочетательный закон); 3) .
Определение противоположных векторов	Два ненулевых вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. - противоположные векторы, .
Определение разности векторов	Разностью векторов называется вектор , сумма которого с вектором равна вектору : .
Правила вычитания векторов	1. Правило треугольника: Если уменьшаемое и вычитаемое – векторы с общим началом, то вектор разности стягивает их концы и направлен от конца вычитаемого к концу уменьшаемого. 2.Сложение уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому: .
Опорная задача (условие коллинеарности двух векторов)	Если векторы коллинеарны и , то существует число такое, что .
3. Компланарные векторы
Определение компланарных векторов	Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Замечание. Понятие компланарности является пространственным аналогом понятия коллинеарности.
Свойства компланарных векторов	1. Любые два вектора компланарны. 2. Любые три вектора, из которых два являются коллинеарными, компланарны. 3. Любые три вектора, из которых хотя бы один – нулевой, компланарны. 4. Если векторы компланарны, то существует плоскость, параллельная каждой из прямых, содержащих эти векторы.
Опорная задача (критерий компланарновти трех векторов)	Если вектор можно разложить по векторам , т.е. представить в виде , где некоторые числа (коэффициенты разложения), то векторы компланарны. И обратно: если векторы компланарны, а векторы неколлинеарны, то вектор можно разложить по векторам . Причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Правило параллелепипеда (для сложения трех некомпланарных векторов)	Вектором – суммой трех некомпланарных векторов является направленная диагональ параллелепипеда, построенного на трех данных векторах как на ребрах: .
Замечание. Правило параллелепипеда является пространственным аналогом правила параллелограмма для сложения двух векторов на плоскости.
Определение разложения вектора	Если вектор представлен в виде , где – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам . Числа называют коэффициентами разложения.
Замечание. Говорят также, что вектор является линейной комбинацией векторов .
Теорема (о разложении вектора по трем некомпланарным векторам)	Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Замечание. Любые три некомпланарных вектора называют базисом пространства, а числа – координатами вектора в этом базисе.
Опорная задача (формула Эйлера для точки пересечения медиан треугольника)	Если – точка пересечения медиан треугольника , а – произвольная точка пространства, то
Опорная задача (о делении диагонали параллелепипеда на три равные части)	Диагональ параллелепипеда проходит через точки пересечения медиан треугольника и , и делится этими точками на три равные части.
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Координаты точки и координаты вектора
Определение прямоугольной системы координат в пространстве	Прямоугольная система координат в пространстве образована тремя попарно перпендикулярными прямыми (осями координат), на каждой из которых выбрано направление и единица измерения отрезков, проходящими через одну точку пространства (начало координат). - начало координат; – ось абсцисс; - ось ординат; - ось аппликат. Плоскости , проходящие через попарно взятые оси координат, называются координатными плоскостями. Начало координат разделяет каждую из осей на два луча - положительную полуось (ее направление совпадает с направлением оси) и отрицательную полуось (ее направление противоположно направлению оси).
Определение координат точки	— абсцисса точки ; — ордината точки ; — аппликата точки . Обозначение. Координаты точки указывают после ее обозначения в круглых скобках в таком порядке: абсцисса - ордината - аппликата, т. е. . Начало координат – .
Расположение точки	Плоскость	Плоскость	Плоскость	Ось	Ось	Ось
Координаты точки
Определение координатных векторов	Координатными векторами (ортами) называются единичные (т. е. с длиной, равной единице) векторы, отложенные от начала координат на каждой из положительных полуосей. единичный вектор оси абсцисс; вектор оси ординат; единичный вектор оси аппликат.
Определение координат вектора	Так как координатные векторы некомпланарны, то любой вектор можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде: ⇐ Предыдущая123 Date: 2015-09-26; view: 2018; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...