Дифференциальное уравнение теплопроводности. Условия однозначности

Распределение температуры в теле, описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое при принятых допущениях, а именно: тело однородно и изотропно; физические параметры тела постоянны во времени и пространстве; температурные деформации рассматриваемого элементарного объема малы по сравнению с самим объемом; внутренние источники теплоты распределены в рассматриваемом объеме равномерно; макрочастицы тела неподвижны относительно друг друга; имеет следующий вид:

, где – время, сек; – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры в любой точке тела, ;

– теплоемкость тела; – плотность тела; – объемная плотность тепловыделения, вm/м³; – температура; – оператор Лапласа.

Условия однозначности:

I) Геометрические условия (форма, размеры тела);

II)Физические условия (физические свойства тела и его физические параметры);

III) Начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);

IV) Граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

1. Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела, как функция координат и времени:

2. Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности потока на поверхности тела, как функция координат и времени:

В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем .

3. Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой: если , где – коэффициент теплообмена, представляющий собой плотность теплового потока подведенного (отведенного) к единице поверхности тела при разности температур между поверхностью тела и окружающей среды 1 ⁰С, вm/м²град.

4. Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена системы тел имеющих различные коэффициенты теплопроводности. Между телами предполагается идеальный контакт. Тогда , где – коэффициент теплопроводности первого тела; – коэффициент теплопроводности второго тела.