Задача об оптимальном использовании сырья при производстве изделий

Планирование рациональных покупок продуктов питания

Задача о диете. Очень часто эта задача линейного программирования называется как задача о смесях – задача подбора оптимального состава сме­си, отвечающей заданным условиям. Это может быть и состав сплава, отве­чающий заданным характеристикам, и набор праздничных подарков и др.

Содержание задачи

Нередко возникают задачи, связанные с осуществлением рациональных покупок продовольственных товаров, обеспечивающих необходимый рацион питания (например, семьи при ограниченном ассортименте продуктов).

Такого типа задачи решаются в условиях ограничений по ассортименту товаров, товарных запасов, стоимости, суточных норм потребления питательных веществ и их содержания в продуктах и др.

Целью оптимизации является выбор из всех возможных вариантов такого набора продуктов, который бы содержал необходимое количество питательных веществ и имел минимальную стоимостью.

Допустим, что мы имеем набор продуктов: мясо, рыба, молоко, масло, сыр, крупа, картофель стоимость килограмма которых составляет

С₁, С₂,…,С_J,…, C_n, соответственно.

Запасы продуктов ограничены:

А₁, А₂,…, А_j,…, А_n,

Содержание питательных веществ – белков, жиров, углеводов, минеральных солей… - в одном килограмме каждого продукта известно и составляет соответственно:

Q₁₁, Q₂₁,…,Q_i1,…,Q_n1

Кроме того, известны нормы суточной потребности человека в каждом питательном веществе:

B₁, B₂,…,B_i,…,B_m

Перечисленные показатели могут быть записаны в виде системы линейных ограничений:

Q₁₁*X₁+ Q₁₂*X₂+…+ Q_1j*X_j +…+ Q_1n*X_n ≥B₁

Q₂₁*X₁+ Q₂₂*X₂+…+ Q_2j*X_j +…+ Q_2n*X_n ≥B₂

………………………………………………………

Q_m1*X₁+ Q_m2*X₂+…+ Q_mj*X_j +…+ Q_im*X_n ≥B_m

Еще одно ограничение связано с тем, что количество каждого продукта в рационе, с одной стороны, не может быть величиной отрицательной, с другой – количество закупленных продуктов ограничена его запасами:

0 £ Х₁ £ А₁, 0 £ Х₂ £ А₂,…, 0 £ Х_j £ А_j

F Необходимо определить такое количество закупаемых продуктов

Х₁, Х₂,…, Х_j,…, Х_n, которое бы обеспечило потребность человека в питательных веществах при минимальной стоимости набора продуктов и описывалось бы линейной формой связи целевой функции:

F = {C₁*X₁+ C₂*X₂+…+ C_j*X_j+…+ C_n*X_n}ðmin.

В более компактном виде экономико-математическая формулировка и модель имеют вид:

найти оптимальное количество продуктов питания

Х₁⁰, Х₂⁰,…, Х_j⁰,…, Х_n⁰

cистемы линейных ограничений

∑ Q_ij*X_j ≥ B_i i Î m,

0 £ X_j ≥ A_j J Î n,

которые обращают в минимум линейную форму связи целевой функции:

F = C_j*X_j ðmin,

что позволяет получить экономный рацион суточного потребления продуктов, т.е. оптимальное решение задачи.

Пример

Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку необходимо ежедневно потреблять 118 г. белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей.

Количество питательных веществ, содержащихся в одном килограмме имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимость приведены в таблице.

Необходимо составить дневной рацион, содержащий не менее суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.

FВ соответствии с вышеизложенным, экономико – математическая формулировка и модель будут иметь вид:

найти оптимальное количество закупаемых продуктов питания

Х₁⁰, Х₂⁰,…, Х_j⁰,…, Х_n⁰

системы линейных ограничений, связанных с суточной нормой потребления:

180*Х₁+190* Х₂+30* Х₃+70* Х₄+260* Х₅+130* Х₆+21* Х₇ ≥118

20*Х₁+3* Х₂+40* Х₃+805* Х₄+310* Х₅+30* Х₆+2* Х₇ ≥56

0*Х₁+0* Х₂+50* Х₃+6* Х₄+20* Х₅+650* Х₆+200* Х₇ ≥500

9*Х₁+10* Х₂+7* Х₃+12* Х₄+60* Х₅+20* Х₆+70* Х₇ ≥8

Х₁>0, Х₂>0, Х₃>0, Х₄>0, Х₅>0, Х₆>0, Х₇>0,

которые обращают в минимум затраты на покупку продуктов питания

F = {70*Х₁+ 40*Х₂+ 10*Х₃+ 55*Х₄+75*Х₅+15*Х₆+10*Х₇}ðmin

Рис. 14. Таблица для решения задачи о планировании рациональных покупок

На листе Excel:

В ячейке H10 записана целевая функция (F) =СУММПРОИЗВ(B7:H7;B8:H8)

В ячейках В11:В14 записаны формулы ограничений

=СУММПРОИЗВ(B3:H3;$B$8:$H$8)

=СУММПРОИЗВ(B4:H4;$B$8:$H$8)

=СУММПРОИЗВ(B5:H5;$B$8:$H$8)

=СУММПРОИЗВ(B6:H6;$B$8:$H$8)

После того как на листе Excel размещены формулы целевой функции и функций ограничений выполните команду СЕРВИСðПОИСК РЕШЕНИЯ и в открывшемся диалоговом окне выполните все необходимые установки.

Рис. 15 Диалоговое окно «Поиск решения» с введенными адресами изменяемых ячеек, целевой функции и функций ограничений

После щелчка на кнопке «Выполнить» в строке «Количество в рационе» появятся значения рекомендуемых наборов продуктов. В данной постановке задачи. оптимальный набор продуктов, удовлетворяющий поставленным условиям состоит из 36 масла и 888 г крупы. При его стоимости 15.32 руб.

Задача об оптимальном использовании сырья при производстве изделий

Определим оптимальный план выпуска продукции в условиях дефицита сырья.

Предположим, что предприятие намерено выпускать два вида продукции, используя для этого три вида сырья. При этом, цена единицы первоговида продукции равна 25000 руб., а второго - 50000 руб.

Известны нормы расхода сырья при производстве единицы продукции (см. Таблицу)

Обозначим количество произведенной продукции вида 1 через С1, а вида 2 через С2. Тогда целевая функция, которая должна обеспечить получение максимального величины прибыли, должна иметь вид:

У = 25000*С1+ 50000*С2