Задачи для самостоятельного решения. В задачах 8.3.1-8.3.2 даны длины векторов , и угол между ними

В задачах 8.3.1-8.3.2 даны длины векторов , и угол между ними. Для указанных векторов и найти: 1) , 2) , 3) , 4) .

8.3.1. , , , , .

8.3.2. , , , , .

8.3.3. При каких значениях модуль вектора равен 2, если скалярные квадраты , , а угол ?

8.3.4. В параллелограмме ABCD , и угол . Найти длины диагоналей AC и BD и меньший угол между ними.

В задачах 8.3.5-8.3.6даны координаты векторов и в базисе . Найти: 1) ; 2) , ; 3) ; 4) .

8.3.5. , .

8.3.6. , .

8.3.7. Образуют ли векторы , , ортонормированный базис в пространстве?

8.3.8. Убедиться, что векторы , образуют ортонормированный базис в . Вектор разложить по этому базису.

В задачах 8.3.9-8.3.12 даны координаты вершин . Найти угол . Указание: Формулы (8.6), (8.7) для векторов на плоскости принимают вид , .

8.3.9. , , .	8.3.10. , , .
8.3.11. , , .	8.3.12. , , .

В задачах 8.3.13–8.3.14 доказать, что треугольник ABC с вершинами A, B и C тупоугольный. Вычислить косинус тупого угла.

8.3.13. , , .

8.3.14.

В задачах 8.3.15-8.3.16 найти значение параметра λ, при котором векторы и ортогональны (перпендикулярны).

8.3.15. , .

8.3.16. , .

8.3.17. Даны координаты точек , , , . Является ли четырехугольник ABCD прямоугольником?

8.3.18. Даны координаты точек , , , . Является ли четырехугольник ABCD ромбом?

В задачах 8.3.19-8.3.20 найти направляющие косинусы вектора и его орт.

8.3.19. .

8.3.20. .

В задачах 8.3.21-8.3.22 найти координаты вектора .

8.3.21. , , , .

8.3.22. , , , .

8.3.23. Найти вектор , имеющий единичную длину, ортогональный к каждому из векторов и и образующий с вектором тупой угол.

8.3.24. Шар массой кг под действием силы тяжести скатывается по наклонной плоскости, образующей с горизонталью угол 30°, с высоты м. Какую работу совершает сила тяжести?

Указание. Сила тяжести имеет величину , где м/с², и направлена по вертикали вниз.