Примеры линейных пространств

1) Множества и всех геометрических векторов на плоскости и в пространстве.

2) Множество всех -матриц, с операциями сложения и умножения на число, введенными в п. 2.1.1.

3) Арифметическое пространство – множество всех упорядоченных наборов из чисел – арифметических векторов, которое мы будем записывать в виде матрицы-строки . Сумма арифметических векторов и : , произведение вектора на число : , нулевой вектор , вектор, противоположный вектору : .

Конечно, то же самое, что . С другой стороны, можно считать, что – элементы -матрицы можно выписать последовательно в виде строки из элементов.

Иногда удобно записывать арифметический вектор в виде матрицы-столбца

,

то есть можно считать .

4) Множество всех функций, заданных на числовой прямой с операциями сложения и умножения на число:

: и : .

Роль нулевого вектора играет нулевая функция – принимающая значение 0 при всех значениях .