Линейные пространства

Операции сложения и умножения на число определены не только для геометрических векторов, но и для матриц, функций и других объектов. Все они удовлетворяют свойствам 1) – 8). Естественно изучать свойства операции сложения и умножения в «чистом виде» отвлекаясь от конкретной природы объектов, с которыми производятся эти операции. Эта идея приводит к понятию линейного пространства.

Линейным (или векторным) пространством называется множество объектов любой природы, которые будем называть (абстрактными) векторами и далее обозначать , , …, такое, что

(1) для любых векторов , определен вектор из , обозначаемый и называемый суммой и ;

(2) для любого вектора и любого действительного числа определен вектор из , обозначаемый и называемый произведением вектора на число ;

(3) в выделен нулевой вектор ;

(4) для любого вектора определен вектор из , обозначаемый и называемый вектором, противоположным вектору ;

причем для любых векторов , , из и для любых действительных чисел , имеют место свойства 1) – 8).