Суперсимметрия. Суперпространство

Суперсимметрия объединяет в одни супермультиплеты бозоны и фермионы. Сейчас нет экспериментального подверждения суперсимметрии (т.е. она может быть только нарушенной), но с теоретической точки зрения суперсимметричные полевые модели обладают взаимным сокращением многих ультрафиолетовых расходимостей.

Преобразование суперсимметрии перемешивает бозонные и фермионные поля. Для соблюдения требований суперсимметрии, в стандартной модели, каждой частице должна быть поставлена в соответствие частица со спином смещенным на ½. В случае точной суперсимметрии все эти частицы должны иметь одинаковые массы.Кваркам и лептонам должны соответствовать суперпартнеры со спином 0, всем калибровочным бозонам со спином 1 –суперпартнеры со спином ½, бозону Хиггса со спином 0 –суперпартнер со спином ½. Так как эти суперпартнеры не наблюдаются в данных диапазонах энергий, это означает что суперсимметрия если и существует, то является нарушенной.

Супералгеброй, лежащей в основе физически симметричных теорий является алгебра супертрансляций. Она порождается конечным числом четных и нечетных генераторов. Операторы рождения бозонов и фермионов можно рассматривать как систему образующих бесконечномерной градуированной алгебры. Операторы рождения бозонов считаются четными элементами алгебры, фермионные операторы считаются нечетными элементами алгебры. Нечетные генераторы переводят бозоны в фермионы. Учитывая связь спина со статистикой нечетные генераторы преобразуются по представлениям с полуцелым спином. Четные генераторы преобразуются по представлениям с целым спином. Простейшее допущение состоит в том, что нечетные генераторы являются спинорами.

Спиноры - это величины, преобразующиеся по фундаментальным представлениям группы комплексных матриц второго порядка с детерминантом равным единице. Эта специальная линейная группа комплексных регулярных матриц обозначается символом . Существует два фундаментальных представлений группы , которые комплексно сопряжены друг другу. Соответствующие спиноры обозначаются символами («ку-альфа» и «ку с чертой-альфа с точкой»). Индексы , принимают два значения .

Четные генераторы должны образовывать 4-вектор трансляций где ( ). Наиболее простая алгебра супертрансляций

(2.139)

порождается четыремя четными генераторами и четыремя нечетными генераторами . Перестановочные соотношения между генераторами «спиновых трансляций» и обычных трансляций следующие:

(2.140)

Все остальные коммутаторы обращаются в нуль. -матрицы второго порядка. , -единичная матрица, , - спиновые матрицы Паули.

Важнейшее физическое предположение относительно супералгебры (2.139) состоит в том, что четные генераторы являются 4-вектором энергии-импульса системы. Операторы энергии и импульса –это генераторы трансляций времени и пространства.

Простейший гамильтониан в суперсимметричной теории имеет вид

(2.141)

Из которого следует, что энергия суперсимметричной системы не может иметь отрицательных значений.