Интеграл Дюамеля

Пусть имеется пассивный двухполюсник. Это может быть любая сложная цепь с двумя зажимами и без внутренних источников ЭДС.

К этому двухполюснику прикладывается скачкообразное напряжение, вид которого показан на рис. 4.2. Амплитудное значение этого напряжения равно .

Назовем, как это сделал Карсон, переходной проводимостью отношение переходного тока при включении цепи на постоянное напряжение к величине этого напряжения, равной ,

.

Эта переходная проводимость представляет собой полный ток в цепи, когда амплитуда скачка приложенного напряжения равна единице; при переходная проводимость равна нулю.

Так для цепи с последовательно соединенными R, L переходная проводимость равна

,

а для цепи с R и C

.

Допустим, что переходная проводимость рассматриваемого двухполюсника известна и требуется вычислить переходный ток на входе двухполюсника, возникающий под действием напряжения (рис. 4.2).

Заменим ступенчатой линией с интервалами . Ток в момент времени можно рассматривать как ток, возникающий под действием серии скачкообразных напряжений, следующих друг за другом через промежутки в интервале от 0 до .

Первый скачок напряжения равен , последующие скачки равны . Составляющая тока, вызванная скачком, который возникает в момент времени , равна . Поскольку переходная проводимость является непрерывной функцией для , то весь ток равен сумме составляющих тока, вызванных отдельными скачкообразными напряжениями (используется принцип суперпозиции), т.е.

.

Если совершить предельный переход, т.е. , то получим точное выражение для тока:

, (4.6)

где .

Выражение (4.6) носит название интеграла Дюамеля. Он позволяет найти переходный ток при включении цепи на напряжение произвольной формы при нулевых начальных условиях.

Если функция имеет разрыв при (на рис. 4.2 не показан), то интеграл (4.6) должен быть взят по областям непрерывного изменения и к нему должны быть добавлены члены, отражающие действие скачков напряжения. Например, если , то

.

Если в (4.6) интеграл «взять» по частям, то получим интеграл Дюамеля в другом виде

(4.7)

,

где .

Выбор той или иной формы записи интеграла Дюамеля зависит от того, какая форма приводит к более простому интегралу.

Пример.

Цепь из последовательно соединенных R и L включается на напряжение при нулевых начальных условиях . Используем интеграл Дюамеля в форме (4.6). Найдем производную напряжения

.

Переходная проводимость равна:

и .

Найдем переходной ток: