Ряды Фурье

Если функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, то есть а) f(t) кусочно-непрерывна (интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых f(t) непрерывна и монотонна), б) во всякой точке разрыва значение функции слева и справа от этой точки ограничено, то такая функция разлагается в ряд Фурье.

Итак, задана периодическая функция f (t) периода Т. Запишем ее в виде

(7.1)

здесь - постоянная составляющая, - основная гармоника,

- k –ая гармоника, - начальные фазы основной и k – ой гармоник. - частоты основной и k – ой гармоник. - частота изменения исходной функции f (t).

Ряд Фурье можно записать и так

(7.2)

где . Обратные преобразования выглядят так

. (7.3)

Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам Эйлера

(7.4)

Если f(t) задана аналитически (в виде формулы), то коэффициенты Фурье можно вычислить непосредственно по формулам (7.4). Если f (t) представлено графически, то коэффициенты Фурье вычисляются приближено путем замены интегралов суммами. Поступают так: период Т кривой делят на p равных частей (рис. 7.2).

В точках деления определим ординату кривой (в точке n имеем она равна ).

Коэффициенты определяются по формулам

Если функция f(t) обладает тем или иным типом симметрии, то некоторые члены в ряде Фурье (7.2) отсутствуют.

1. Пусть f(t) симметрична относительно оси абсцисс, т.е. - отрицательная полуволна является изображением сдвинутой на половину периода положительной полуволны (рис. 7.3). В этом случае ряд Фурье не содержит постоянной составляющей и четных гармоник: В этом случае ряд Фурье состоит только из нечетных гармоник. Этот случай имеет место для ЭДС в генераторах

Если , то имеем .

2. Пусть f(t) симметрична относительно оси ординат, f(t)=f(-t) (рис. 7.4). В этом случае , пропадают все синусоидальные члены, и ряд Фурье имеет вид

.

3. Кривая симметрична относительно начала координат, f(t)=-f(-t) (рис. 7.5).

В этом случае

Пример. Кривая симметрична относительно оси абсцисс, поэтому сразу можно сказать, что ряд Фурье будет состоять из нечетных гармоник.

Убедимся в этом и вычислим попутно ряд Фурье.

, , где ,

Т.о., получим

Допустим, что ЭДС прямоугольной ординаты действует в цепи (рис. 7.7).