Означення

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію Тоді

· функція називається зроста́ючою на , якщо

.

· функція називається стро́го зроста́ючою на , якщо

.

· функція називається спадною на , якщо

.

· функція називається стро́го спадною на , якщо

.

Приклад неспадної функції

(Строго) зростаюча чи спадна функція називається (строго) монотонною

17.Екстремуми функції.Необхідна та достатня умова екстремуму.

Нехай функція визначена в деякій області і точка внутрішньою точкою області Означення. Функція в точці має максимум, якщо для всіх точок деякого околу цієї точки виконується нерівність Означення. Функція в точці має мінімум, якщо для всіх точок деякого околу цієї точки виконується нерівність .

Теорема.1. Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то .

Д о в е д е н н я. Нехай, наприклад, функція має в точці максимум. Тоді при достатньо малому,а тому

Переходячи до границі при, одержимо:Згідно з умовою - диференційована функція в точці . Тому одержані границі дорівнюють . Таким чином, маємо і , отже .

Теорема 2. У точці екстремуму функції кількох змінних кожна її частинна похідна першого порядку або дорівнює нулю, або не існує.

Д о в е д е н н я. Нехай функція в точці має максимум – для конкретності. Зафіксуємо значення всіх змінних, крім однієї, наприклад , поклавши їх рівними між собою: .

Тоді функція стає функцією однієї змінної :

.За умовою теореми функція має максимум, тобто,

18.Найбільше та найменше значення функції на відрізку.

У курсі математичного аналізу доводиться теорема Вейєритрасса: неперервна на відрізку[a;b] функція має на цьому відрізку найбільше і найменше значення.

Цю теорему слід розуміти так, що для неперервної на [a;b] функції існують точки відрізка [a;b] у яких f(x) набуває найбільшого та найменшого на [a;b] значення. Якщо функція у= = f(x) неперервна на відрізку [а;b] і має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

19.Поняття первісної.Правила знаходження первісних.

Правило 1. Якщо і - первісні відповідно функцій і на деякому проміжку, то функція є первісною функції.

Дійсно, оскільки,, то.
Правило 2. Якщо є первісною для функції, а С – стала, то - первісна для функції.

Дійсно, оскільки, то.
Правило 3. Якщо є первісною для, а bik - постійні числа, причому, то є первісною для функції.

Пе́рвісною для функції f (x) називається така функція, похідна якої дорівнює f (x).

Операція взяття первісної є оберненою (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної f' (x) будуть функції f (x) + C, де C ∈ R — довільна стала (зокрема, однією з первісних буде сама функція f (x)). І навпаки, похідною від первісної для функції f (x) буде сама функція f (x).

20.Первісні основних елементарних функцій.

21.Задача про площину криволінійної трапеції.Визначення інтеграл.

22.Властивості визначеного інтеграла.Формула Ньютона-Лейбніца.

23.Перпендикуляр та похила.теорема про три перпендикуляри.

24.Кут між площинами.Перпендикулярність площин в просторі.Ознака перпендикулярності площин.

25.Система координат в просторі.Основні елементи.