Основные свойства сходящихся и несходящихся рядов

Сходящихся:

1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

2. Сумма сход числ ряда умнож на const равно его сумме умнож на ту же const.

3. Если числ ряды и сходятся, то сумма этих числ рядов также явл сход числовым рядом, при этом его сумма равна сумме исходных рядов: =

Сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q и с первым членом a₁, a₁≠0, вида a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1+…=

Частичная сумма ряда , a₁≠0, q≠1

Рассмотрим 4 случая

1. При (так как | q |<1), поэтому

и ряд будет сходящимся.

Сумма S_n первых его n членов, равная na, при Таким образом, ряд расходящийся.
3. Если q = -1, то ряд примет вид

a1 – a1 + a1 – a1 + a1- a1 +... +(-1)n-1 a1 +.... Его частичные суммы попеременно будут равны то 0, то a1, в зависимости от того, будет ли n четным или нечетным числом. Очевидно, что при частичные суммы стремятся ни к какому пределу. Ряд расходится

4. Если | q |>1, тогда и, следовательно, , поэтому ряд является расходящимся и суммы не имеет