Определение ряда и его сходимость

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,…. Выражение

называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n- м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда.

Члены ряда опред след суммы: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂,S_n=a₁+a₂+…+a_n;

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

Определение 3. Если существует конечный предел то он называется суммой ряда, а ряд называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет. Разность r_n между его суммой S и частичной суммой S_n: r_n=S- S_n называют остатком ряда после n-го члена или n-ым остатком ряда. Подробнее,

Теорема. Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы

32. Необходимый признак сходимости ряда (док-во).

Теорема. Если ряд сходится, то = 0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел = S. Тогда имеет место также равенство = S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = u_n =0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если ≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что u_n =0 не следует, что ряд сходится.

Чтобы числовой ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы