Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования. Теорема Барроу(док-во)

Пусть функция f (t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число , определив тем самым на промежутке функцию Ф(x), которая называется определенным интегралом с переменным

верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x.

♦Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Δ x.

Δ Ф (x) = Ф(x + Δ x) – Ф(x) = , с Отсюда следует формула для производной функции Ф(x): ♦

Теорема (теорема Барроу). Если f (x) непрерывна на [a,b], то функция Φ(x) является дифференцируемой на [a,b], причем .

Эта теорема доказывает, что любая функция f (x) непрерывная на [a,b], имеет первообразную. Именно, является одной из первообразных.