Функций через предел отношения их производных)

Пусть функции y = f(x) и y = g (x)

1) дифференцируемы в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a;

2) g (x) ≠ 0 и g ′(x) ≠ 0 в этой окрестности;

3) lim_(x→a) f(x)= 0,; lim_(x→a) g(x)= 0

4) существует lim_(x→a) (конеч. или беск.)

Тогда существует lim_(x→a) причем lim_(x→a) lim_(x→a)

◄В теореме ничего не сказано о значениях y = f(x) и y = g (x) в точке х=а. Положим f(a) = g(a) = 0. Так как теперь lim_(x→a)f(x)=f(a) и lim_(x→a)g(x)=g(a), то функции y = f(x) и y = g (x) будут непрерывны

в точке а. Поэтому на отрезке [a;x], где х - какая угодно точка окрестности точки а, функции y = f(x) и y = g (x) удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Следовательно,между а и х найдется по крайней мере одна точка такая, что Величина x₀ зависит от х, причем x → a при точка x₀ также будет стремиться к а. Поэтому lim_(x→a) lim_(x→a)

и lim_(x→a) lim_(x→a) . Из последних двух соотношений следует, что lim_(x→a)

Последнее равенство выражает правило Лопиталя, по которому вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций. Это один из наиболее мощных методов нахождения пределов.