Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)

Пусть функция y = f (x)

1) непрерывна на отрезке [a;b];

2) дифференцируема на интервале (a;b).

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка такая, что = f’(x₀)

◄Введем вспомогательную функцию L(x) на отрезке [a;b], определив ее так: L(x)= f(x) - f(a) - (x- a). Эта функция на [a;b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1) она непрерывна на [a;b], поскольку непрерывны все слагаемые L(x);

2) на (a;b) функция L(x)имеет производную;

3) L(a) = L(b) = 0.

Из теоремы Ролля следует, что существует точка x₀∈(a;b), в которой L′ (x) = 0. Следовательно, L’(x)= f’(x₀) - =0. Отсюда f’(x₀)= , x₀∈(a;b)►

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Отношение есть угловой коэффициент хорды АВ, а f’(x₀)есть угловой коэффициент касательной к кривой у=f(x) в точке с абсциссой x₀.Утверждение теоремы Лагранжа сводится к следующему: на кривой у=f(x) точка M(x₀;f(x₀)) такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде AB. Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде: f(b)- (a)= f’ (x₀)* (b-a).