Статистика случайных и нечетких множеств

Давнюю историю имеет статистика случайных геометрических объектов (отрезков, треугольников, кругов и т.д.) [92]. Как сказано в монографии [93], современная теория случайных множеств сложилась "при изучении пористых сред и объектов сложной природы в таких областях, как металлография, петрография, биология". Различные направления внутри этой теории рассмотрены в работе [1, гл.4]. Остановимся на двух.

Случайные множества, лежащие в евклидовом пространстве, можно складывать: сумма множеств и - - это объединение всех векторов , где , . Н.Н. Ляшенко получил аналоги законов больших чисел, центральной предельной теоремы, ряда методов прикладной статистики, систематически используя подобные суммы [94].

Для статистики объектов нечисловой природы интереснее подмножества пространств, не являющихся линейными. В работе [1] рассмотрены некоторые задачи теории конечных случайных множеств. Ряд интересных результатов получил С.А.Ковязин [95], в частности, он доказал гипотезу [37] о справедливости закона больших чисел при использовании расстояния между множествами

, (15)

где. - некоторая мера; - знак симметрической разности. Прикладники также делают попытки развивать статистику случайных множеств [43, 96].

С теорией случайных множеств тесно связана теория нечетких множеств, начало которой положено статьей Л.А.Заде [97]. Это направление прикладной математики получило бурное развитие - к настоящему времени число публикаций измеряется десятками тысяч, имеются международные журналы, постоянно проводятся конференции, практические приложения дали ощутимый технико-экономический эффект [98,118]. При изложении теории нечетких множеств [99-101] обычно не подчеркивается связь с вероятностными моделями. Установлено [1], что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств, хотя эта связь и имеет лишь теоретическое значение. Общее введение в прикладные вопросы теории нечеткости дано в работе [102].

С точки зрения статистики объектов нечисловой природы нечеткие множества - лишь один из видов объектов нечисловой природы. Поэтому к ним применима общая теория в пространствах произвольной природы [103]. Имеются работы, в которых совместно используются соображения вероятности и нечеткости [104, 105].