Основные определения

Система счисления – это совокупность приемов наименования и записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения операций.

Система счисления называется позиционной, если любое число в ней изображается в виде последовательности цифр, количественное значение каждой из которых зависит от того, какое место (позицию) занимает она в коде числа.

В противном случае (если каждой цифре соответствует значение, не зависящее от ее положения в коде числа), система счисления называется непозиционной.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа, что облегчает занесение чисел на физический носитель.

Основанием позиционной системы счисления называется количество различных символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Основание в любой системе записывается как 10, но в разных системах оно имеет разное количественное значение, так как показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени основания системы счисления.

Например, в десятичном числе 333 цифры 3, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения – 3 сотни, 3 десятка, 3 единицы, при перемещении цифры на соседнюю позицию ее вес (числовой эквивалент) изменяется в 10 раз.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т.д.).

Позиционных систем счисления очень много, так как за основание системы можно принять любое число, большее или равное 2. Из всех позиционных систем счисления наиболее распространенной, за исключением десятичной, является двоичная система. Именно она используется для внутреннего представления данных в компьютере.

Символы, при помощи которых записывается число, называют цифрами.

Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления. Для десятичной системы счисления алфавит состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Алфавит двоичной системы счисления включает всего две цифры: 0 и 1.

Базисом позиционной системы счисления называют последовательность чисел, задающих «вес» единицы каждого разряда. Например, базис десятичной системы счисления определяется последовательностью 1, 10, 10², 10³,..., 10ⁿ,...; базис двоичной системы счисления – последовательностью 1, 2, 2², 2³,..., 2ⁿ,.... Базисы позиционных систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями, равными основаниям системы.

Сформулируем правило записи числа в развернутом виде.

В позиционной системе счисления каждое число может быть единственным образом представлено в виде суммы произведений его десятичных знаков на степени основания, соответствующие позициям этих знаков:

A _q = ± (a _n-1 q ^n-1 + a _n-2 q ^n-2 +...+ a ₀ q ⁰ + a _-1 q ^–1 + a _-2 q ^–2 +...+ a _-m q ^–m)

Такую форму записи называют также многочленной или степенной.

Здесь:

A _q – само число;

q – основание системы счисления;

a _i – цифры данной системы счисления (i – позиция цифры в записи числа);

n – число разрядов целой части числа;

m – число разрядов дробной части числа.

Например, десятичное число A ₁₀ = 4718,63 в развернутой форме запишется так:

А ₁₀ = 4 ´ 10 ³ + 7 ´ 10 ² + 1 ´ 10 ¹ + 8 ´ 10 ⁰ + 6 ´ 10 ^–1 + 3 ´ 10 ^–2.

A = a _n–1 a _n–2... a ₁ a ₀, a _–1... a _–m....

В приведенном примере 4718,63 – естественная запись числа (запись числа в свернутой, цифровой, форме).