Основные этапы математического моделирования

Математические модели технических систем

Использование обычных теоретических методов исследования современных технических, экологических, экономических и иных систем, не позволяет достичь требуемых в настоящее время полноты и точности результатов. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен. Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока.

Поэтому компьютерное исследование математических моделей систем с привлечением современных средств вычислительной техники стало основным и наиболее эффективным методом исследования систем.

Поскольку такое изучение математической модели можно рассматривать как проведение эксперимента на ЭВМ, то в современной научно-технической литературе термин “вычислительный эксперимент” часто выступает как синоним термина “математическое моделирование”.

Последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента над моделью технического объекта можно представить следующей обобщенной схемой:

Исходной позицией этой схемы является технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, процесс или явление.

На первом этапе осуществляется переход от рассматриваемого (существующего или проектируемого) ТО к его расчетнойсхеме (РС). При этом в зависимости от цели исследования выделяются существенные свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в РС, и, наоборот, определяются допущения и упрощения, влияние которых предполагаются в рассматриваемом случае несущественным. Вместо термина РС часто используют термины содержательная модель или концептуальная модель. Полнота и правильность учета в РС свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных результатов математического моделирования.

На втором этапе производится формализация описания РС. Это описание в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами РС ТО, и называют математической моделью (ММ). Для некоторых типовых РС существуют библиотеки готовых ММ, что позволяет упросить проведение второго этапа. Библиотеки типовых ММ включаются в программное обеспечение систем автоматизации моделирования динамических систем. Примерами таких систем являются Matlab и Dymola. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых РС и отвечающих им готовых ММ.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра РС (штриховая линия на рис. 3). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие. На этом этапе полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить точное аналитическое решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов на последующих этапах. Итог анализа на третьем этапе – это обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая в дальнейшем подлежит детальному количественному анализу.

На четвертом этапе производится обоснованный выбор метода количественного анализа ММ, разрабатывается эффективный алгоритм вычислительного эксперимента. Пятый этап заключается в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм на ЭВМ. Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенной ММ или с известными законами физики.

Пример. Если маятник без внешнего возмущения начинает крутиться с увеличивающейся скоростью, то скорее всего в написании уравнений есть какая-то ошибка. Неточность в поведении модели может означать, что не учтен какой-нибудь существенный фактор.

Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или модификации и алгоритма, и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке РС и соответствующей ММ. После устранения всех выявленных недочетов компьютерную модель можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе полученной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТО, что составляет содержание последнего седьмого этапа математического моделирования.

Рассмотренная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и видоизменяться. Например, если при разработке используются типовые РС и ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов.

На ранних этапах компьютерного моделирования моделирующие программы создавались на алгоритмических языках программирования, например, языках Фортран, Алгол, либо, если требовалась высокая эффективность программы в кодах на языке Ассемблера. Программирование моделей на этих языках требовало очень много времени. Например, в 70-е годы создание простой, с современной точки зрения, компьютерной модели требовало трудозатрат в 5-6 человеко-месяцев. В настоящее время положение кардинально изменилось. Начиная с 60-х годов, было разработано множество систем автоматизации моделирования. В системе моделирования математическая модель записывается на некотором формальном входном языке, который автоматически переводится на язык понятный компьютеру. Поэтому при наличии системы автоматизации моделирования процесс вычислительного эксперимента становится в значительной мере автоматизированным. Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, требует проведения всех рассмотренных этапов математического моделирования.