Точностные оценки и сравнение формул интегрирования

Метод трапеций.

В данном случае отрезок интегрирования разбивается на равных интервалов длиной (Рис. 2.3.). В пределах каждого интервала функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами , что соответствует замене кривой на секущую.

Рис. 2.3.

Значение интеграла в пределах , равное площади криволинейной фигуры, заменяется площадью трапеции:

.

Суммирование значений интеграла по всем участкам разбиения дает общую площадь, т.е. приближенное значение интеграла.

.

Погрешность усечения может быть оценена, если функция имеет на отрезке непрерывную вторую производную

.

Очевидно, что формула трапеций дает точное значение интеграла для линейной подынтегральной функции , так как тогда .

Точностные оценки и сравнение формул интегрирования.

Оценка погрешности усечения рассмотренных формул численного интегрирования по выражениям для остаточных членов часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки производных высокого порядка подынтегральных функций. В силу этого на практике для достижения требуемой точности прибегают к методу последовательного удвоения числа шагов, состоящему в следующем. Задают значение допустимой погрешности и начальное число интервалов разбиения. Вычисляют величину интеграла по выбранной квадратурной формуле при числе интервалов и 2 (соответственно и ). По правилу Рунге оценивается погрешность приближенного значения интеграла

- для формулы прямоугольников и трапеций;

Если , количество интервалов разбиения увеличивают вдвое, т.е. значения интеграла вычисляются для последовательных значений . Вычисления заканчиваются при выполнении условия .

Этот прием позволяет осуществить автоматический выбор шага при заданной точности интегрирования. В формулах трапеций и Симпсона при удвоении числа интервалов разбиения нет необходимости вычислять значения подынтегральной функции заново во всех узлах, так как все узлы при числе интервалов являются узлами и при числе интервалов .

Интегрирование по квадратурным формулам сопровождается также ошибками округления. Они носят случайный характер, но с увеличением числа интервалов разбиения возрастают в среднем пропорционально . Вследствие этого общая погрешность, равная сумме погрешностей усечения и округления, с ростом числа интервалов разбиения уменьшается за счет уменьшения ошибки усечения лишь до некоторого значения . Затем погрешности округления преобладают и общая погрешность увеличивается.

В результате не для всякой функции можно получить результат с заданной погрешностью. Поэтому в программе может быть предусмотрено сообщение пользователю о недостижимости заданной точности. Интеграл при этом вычисляется с максимально возможной точностью, а программа выдает эту реальную точность.