Кристаллографические символы граней кристалла

Кристаллографы выработали специальные приемы, позволяющие обозначить положение граней кристалла в координатной системе, и, тем самым, положение граней кристалла относительно друг друга. Для понимания языка кристаллографов и минералогов сделаем краткую характеристику этих обозначений.

Кристаллографы условились не делать различия между параллельными гранями. Такие грани входят в один пакет плоских сеток, одинаково ориентированы в структуре кристалла и физически идентичны.

Рассмотрим грань А^/В^/С^/, которая не параллельна ни одной из координатных осей (рис. 9,а), т.е. грань, имеющую только угловую ориентацию. Пространственное положение такой грани однозначно фиксируется отношением отрезков, которые грань отсекает на координатных осях. Из рис. 9, а видно, что отношение отрезков, отсекаемых гранью, в силу подобия фигур остается постоянным для всех параллельных граней данного направления. Перенесем грань А^/В^/С^/ параллельно первоначальному положению в положение АВС так, чтобы она пересекала координатные оси в узлах пространственной решетки. Выразим отсекаемые гранью АВС на координатных осях отрезки в числах m, n, р параметров элементарной ячейки. Элементарная ячейка показана в левом нижнем углу рис. 9,а. По условиям преобразования грани А^/В^/С^/ в грань АВС числа m, n, р - всегда целые. Пусть, например, плоскость грани отсекает на оси I 4 параметра элементарной ячейки, на оси II – 4 параметра и на оси III – 6 параметров. Получаем для грани АВС m:n:p= = 4:4:6 = 2:2:3.

Изложенный выше пример приведен для иллюстрации того, что любую грань с угловой ориентацией в любом кристалле можно параллельным переносом преобразовать в положение, когда эта грань в преобразованном положении отсекает на координатных осях отрезки, равные целым числам параметров элементарной ячейки.

Рис. 9

Рис. 9,а – параллельный перенос грани А'В'С' в положение ABC, где грань АВС пересекает координатные оси в узлах решетки

Рис. 9, б – д: б – куб; в – октаэдр; г – ромбододекаэдр; д – тетрагональная призма. Кристаллографические символы граней указаны в круглых скобках – (…); кристаллографические символы простых форм указаны в фигурных скобках – {…}

Но когда какая-либо грань параллельна одной из координатных осей, отсекаемый этой гранью отрезок надо считать "бесконечным", что неудобно. Поэтому вместо отношения отрезков кристаллографы условились пользоваться отношением обратных им величин . Это отношение приводят к общему знаменателю. Затем общий знаменатель опускают, а числители полученных дробей принимают за символы граней.

В нашем примере символ данной грани (332). Все три числа - индексы и читаются раздельно: "три, три, два".

При такой системе обозначений индекс грани, параллельной координатной оси, равен нулю, так как lim 1/n, при n→∞ =0. Например, индекс (120) - грань параллельна оси III, индекс (001) - грань параллельна осям I и II, индекс (101) – грань параллельна оси II.

Когда символы двух граней отличаются только одним индексом, больший угол с соответствующей координатной осью составляет грань с большим индексом. Так, грань (201) пересекает ось I под большим углом, чем грань (101) в той же координатной системе. Здесь следует четко понимать, что при выборе какой-либо другой кристаллографической системы координат, индексы граней в первоначальной и вновь выбранной системе в общем случае между собой не сопоставимы. Поэтому при характеристике граней исследуемого кристалла следует пользоваться одной единственной кристаллографической системой координат.

В качестве символа простой формы служит символ одной из ее граней, как правило, ближайшей к наблюдателю. Символ простой формы заключают в фигурные скобки. Так, в кубической сингонии символ {100} (рис. 9, б) соответствует кубу с шестью гранями (100), (010), (001), (100), (010) и (001). Тем же символом {100} (рис. 9, д), в тетрагональной сингонии обозначена тетрагональная призма с четырьмя гранями (100), (010), (100) и (010). В ромбической, моноклинной и триклинной сингониях символ {100} соответствует в порядке перечисления ромбической призме, пинакоиду и моноэдру. Поэтому следует четко запомнить: в разных сингониях один и тот же символ может соответствовать разным простым формам.

В тригональной и гексагональной сингониях, где применяется четырехосная система координат, символы граней и простых форм состоят из четырех индексов: например, символ грани (1010), символ простой формы {0001} и т. п.

Напомним, что масштабы измерения отрезков, отсекаемых гранью, по разным осям в общем случае не совпадают: за единицу измерения выбраны разные параметры элементарной ячейки (рис.9,а). Поэтому в общем случае равенство индексов не говорит о том, что грань одинаково расположена по отношению к соответствующим осям.

Сформулируем правила, которыми следует руководствоваться при сравнении индексов в символах граней и простых форм.

Грани:

- для кристаллов кубической сингонии, где элементарная ячейка всегда имеет равные ребра и прямые углы равенство индексов в символе грани свидетельствует о том, что грань одинаково расположена по отношению к соответствующим осям. На рис. 9, в, г, видно, что грани октаэдра (111) расположены под одинаковыми углами ко всем трем осям и отсекают от них равные отрезки, а грани ромбододекаэдра (110) таким же образом расположены к двум осям, будучи параллельны третьей;

-в тетрагональной сингонии правило равенства отсекаемых гранью отрезков распространяется на первые два индекса в символе грани;

-в тригональной и гексагональной сингониях правило равенства отсекаемых гранью отрезков распространяется на первые три индекса в символе грани;

-в сингониях низшей категории в символах граней равным индексам соответствуют неравные осевые отрезки и неравные углы.

Простые формы:

-в триклинной сингонии возможны моноэдры и пинакоиды любых символов. В остальных сингониях возникают ограничения, налагаемые симметрией;

- в моноклинной сингонии хотя бы один индекс в символе моноэдра или пинакоида должен быть равен нулю;

- в ромбической сингонии в символе моноэдра или пинакоида нулю должны быть равны два индекса;

- в тетрагональной сингонии возможны пинакоиды и моноэдры только вида {001};

- в тригональной и гексагональной возможны пинакоиды и моноэдры только вида {0001};

-в высшей категории пинакоиды и моноэдры невозможны.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ТЕМЕ «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ»

1. Подавляющее большинство минералов, за редкими исключениями, являются твердыми кристаллическими телами.

2. Единицей внутреннего строения минерала является элементарная ячейка. Параметры элементарной ячейки определяют внешний облик (габитус) минерала.

3. Все кристаллы одного вещества одинаковы по структуре, в силу чего одинаково и взаимное расположение слоев (плоских сеток), а отсюда - постоянство углов между соответственными гранями. Наращивая одну или несколько граней новыми слоями (передвигая грань параллельно самой себе), мы не изменим углов между этими гранями, как бы ни изменялись пропорции кристалла. Положение о том, что углы между соответствующими гранями кристалла всегда постоянны получило название основного закона кристаллографии.

4. Все кристаллы симметричны. Однако симметрия для каждого конкретного кристалла отличается от симметрии другого кристалла.

5. В кристаллографии используют специальные геометрические образы, называемые элементами симметрии. К элементам симметрии относятся центр симметрии (центр инверсии) - С, ось симметрии – L, плоскость симметрии – Р.

6. Каждый минеральный вид кристаллизуется только в одном классе симметрии.

7. Все многообразие форм кристаллов описывается с помощью формул 32 классов симметрии.

8. Симметричность идеальных кристаллов характеризуется тремя категориями симметрии: низшей, средней и высшей. Категория симметрии кристалла определяется наличием и количеством в кристалле осей симметрии высшего порядка – L₃, L₄, L₆. В природных кристаллах невозможны оси симметрии 5-го (L₅), 7-го (L₇) и т.п. порядка.

9. Каждая категория симметрии включает в себя одну или несколько сингоний. Сингонии выделяются в зависимости от подобия габитусных углов.

10. Кристаллам различных сингоний соответствуют различные системы кристаллографических координат (осевые кресты).

11. Совокупность граней, получаемых с помощью элементов симметрии из одной исходной плоскости, называется простой кристаллографической формой. Простые формы бывают открытые (пространство кристалла не замкнуто) и закрытые (полностью замыкающие пространство кристалла).

12. В природных кристаллах возможны 47 типов простых форм.

13. Для обозначения граней и простых форм в кристаллографии принята определенная символика. Символ грани записывается в круглых скобках (…), символ простой формы – в фигурных скобках {…}. Количество индексов в скобках определяется сингонией кристалла.

14. Одинаковые записи символов граней и простых форм не означают тождественности этих граней и простых форм. Сравнение записей символов граней и простых форм возможно только для кристаллов одинаковых сингоний. При этом параметры сравниваемых кристаллов должны быть измерены в одной и той же системе кристаллографических координат.