Формула Сомильяны

Итальянский геодезист Сомильяна (Somigliana) в 1929 году получил точную формулу, показывающую распределение силы тяжести на уровенной поверхности эллипсоида вращения. Вопреки правилам русского языка эта формулa вошла в русскую литературу как формула Сомильяна, как если бы его фамилия была Сомильян. Мы будем склонять его фамилию, поэтому должны назвать его формулу именем Сомильяны.

Как мы видели, потенциал притяжения эллипсоида в эллипсоидальных координатах имеет вид (формула (6.17)):

Потенциал тяжести отличается тем, что аддитивно включает в себя центробежный потенциал

Таким образом

(7.1)

Учитывая, что , получим

где обозначено

Для того, чтобы получить силу тяжести на поверхности эллипсоида , необходимо продифференцировать функцию вдоль координатной линии Элемент дуги в этом случае равен , где -- коэффициент Ламе, который, в данном случае, равен

Таким образом, производную потенциала тяжести по нормали к поверхности эллипсоида можно записать так

где

Очевидно, что , но , , поэтому

Теперь удельную силу тяжести на поверхности эллипсоида можно записать так

(7.2)

Мы получили искомую формулу для удельной силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида. Однако нам необходимо избавиться от постоянных и . Заметим, что точка , соответствует полюсу эллипсоида, а точка , -- экватору. Будем снабжать обозначение для силы тяжести соответственно индексами и е. Из (7.2) получим

то есть

Теперь формулу (7.2) можно переписать следующим образом

(7.3)

Для того, чтобы получить формулу Сомильяны в окончательном виде, необходимо от эллипсоидальной системы координат перейти к геодезической. Сопоставим две системы координат для точек поверхности эллипсоида

где (см. лекцию 2, раздел 2.4).

Поскольку (понятия долготы в геодезической и эллипсоидальной системах координат совпадают), поэтому

Отсюда

Имеем очевидные выражения для связи и :

После несложных упрощений, окончательно получим формулу Сомильяны

(7.4)