Аналитическое представление функции, заданной на поверхности сферы, рядом Лапласа

Свойство ортогональности сферических функций делает их незаменимыми для аналитического представления физического поля, рельефа или других величин, заданных в виде карты на сферической поверхности. Сферические функции играют ту же роль, что и тригонометрические для приближенного представления произвольной функции, заданной на отрезке рядом Фурье. Ряд, заданный в виде суммы сферических гармоник, иногда называют рядом Лапласа.

Пусть -- известная, кусочно-непрерывная функция, заданная в сферических координатах. Аппроксимацию этой функции зададим в виде конечного ряда, содержащего сферических гармоник

(4.13)

Определим коэффициенты этого разложения так, чтобы функция аппроксимировала функцию с наименьшим среднеквадратическим отклонением

(4.14)

Для определения коэффициентов и воспользуемся условиями

где и , заданные числа. Выполняя дифференцирование, с учетом (4.13), получим

(4.15)

В полученные выражения нужно подставить вместо правую часть формулы (4.13), заменив в ней индексы суммирования и на и . Мы получим интегралы вида

Вследствие ортогональности сферических гармоник только те из интегралов отличны от нуля, которые содержат произведения одноименных гармоник с одинаковыми индексами. Выполнив операции, получим

(4.16)

Итак, наилучшая средняя квадратическая аппроксимация функции заданной на сфере, многочленом, составленным из нормированных сферических гармоник степени и порядка , имеет вид

(4.17)

где -- нормированная присоединенная функция Лежандра.

Специальное исследование показало, что наш ряд при неограниченном увеличении числа членов при некоторых дополнительных условиях, накладываемых на функцию , сходится. Однако, исследование скорости этой сходимости лежит за пределами нашего курса.