Шаровые функции

Шаровой функцией степени называется гармоническая функция, являющаяся однородным степенным полиномом вида

(3.12)

где -- постоянные. Возьмем сферическую систему координат

(3.13)

где -- долгота, -- полярное расстояние, -- радиус-вектор точки . Очевидно, что

(3.14)

Функция вида

(3.15)

называется сферической функцией.

Итак, шаровая функция степени имеет вид

(3.16)

Существует и другой класс шаровых функций, который приведем здесь без вывода

(3.17)

где -- та же сферическая функция, которая входит и в формулу (3.16).

Число постоянных шаровой функции степени равно . Убедимся в этом на при мере шаровой функции третьей степени:

Всего однородный полином третьей степени имеет 10 постоянных. Однако не все постоянные независимы. Шаровые функции подчиняются уравнению Лапласа. Выполнив необходимые выкладки, получим

Следовательно, из 10 постоянных 3 линейно связаны уравнением Лапласа. Остается 10-3=7 независимых постоянных.