Сферическая система координат

Телом отсчета для сферической системы координат является сфера с радиусом . Начало этой системы координат совмещают с центром сферы. Координатами являются геоцентрическая широта , долгота и радиус-вектор . Широтой называется угол между радиусом-вектором и плоскостью экватора. Долгота есть угол между плоскостью, проходящей через заданную точку и осью вращения (плоскость меридиана) и плоскостью меридиана, принятого в качестве нулевого. Связь между сферической системой и глобальной декартовой определяется формулами

(2.1)

В том случае, когда широта определяется как угол между плоскостью экватора и отвесной линией, сферическая система координат называется астрономической. Широта и долгота, определенные в этой системе мы будем обозначать через и .

2.3 Геодезическая система координат

С геодезической системой координат связывают понятия геодезической широты, долготы и высоты. Геодезическая широта В есть угол, под которым пересекается нормаль к поверхности эллипсоида с плоскостью экватора. Долгота -- двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через заданную точку.

Геодезические широта и долгота отличаются от соответствующих астрономических координат, связанных с отвесной линией, так как отвесная линия не совпадает с нормалью к эллипсоиду. Отклонение отвесной линии можно спроецировать на две плоскости: плоскость меридиана и плоскость первого вертикала. Нетрудно понять, что обе эти составляющие можно определить через разности между астрономическими и геодезическими координатами

(2.2)

Отклонения отвесной линии составляют, как правило, первые несколько секунд дуги.

Заметим, что геодезическая и геоцентрическая долготы совпадают. Обе они определены как двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью, содержащей ось вращения и заданную точку. Геоцентрическая же широта отличается от геодезической.

Рассмотрим точку , лежащую вне ОЗЭ. Опустим из этой точки перпендикуляр на поверхность эллипсоида и продолжим его до пересечения с экваториальной плоскостью (рис. 2). Проекцию точки на поверхность эллипсоида обозначим через Тогда отрезок PQ есть геодезическая высота точки . Угол, под которым упомянутый перпендикуляр пересекает плоскость экватора, есть геодезическая широта . Она относится как к точке , так и к точке . Геоцентрические широты этих двух точек, как видно из рисунка, различаются. Геоцентрическая широта точки угол между радиус-вектором этой точки и плоскостью экватора.

Рис. 2.

Установим связь между координатами точки , сжатием эллипсоида и широтами и . Поскольку точка лежит на поверхности эллипсоида, то ее прямоугольные координаты подчиняются уравнению эллипсоида вращения: . Рассмотрим сечение . Тогда, как легко видеть, . Чтобы определить , нужно найти угловой коэффициент нормали в точке . Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

(2.3)

У нас , поэтому , ,

Следовательно,

Определим отличие геоцентрической широты от геодезической . Имеем очевидные равенства

(2.4)

Второй эксцентриситет эллипса, как мы знаем, определяется следующим образом , поэтому

Для Земли второй эксцентриситет мал, поэтому, пренебрегая малыми второго порядка относительно сжатия, получим . Можно также считать, что

Учитывая сказанное, получим

Наибольшее отличие геодезической широты от геоцентрической достигается на широте 45° и составляет .

Связь глобальных декартовых координат с геоцентрическими определяется формулами (2.1). Определим теперь формулы, связывающие декартовы координаты с геодезическими. Это означает, что бы должны определить координаты точки через параметры эллипсоида и геодезические широту и долготу.

Поскольку , для определения координат , , точки достаточно, для начала, определить только координаты и , то есть все рассуждения проводить только для сечения . Обратимся к рис. 3.

Рис. 3.

Определим прямоугольные координаты точки , расположенной на высоте Н над поверхностью эллипсоида. Сначала определим координаты проекции точки на поверхность эллипсоида (точка ). Ее координаты в сечении Охz равны

Индексом "0" мы отметили принадлежность координат к точке, лежащей на поверхности эллипсоида. Как мы видели

поэтому

Остается определить радиус-вектор точки . Воспользуемся уравнением эллипса и выполним необходимые преобразования.

(2.5)

Выразим и через и , для чего воспользуемся приведенными выше формулами. Определим радиус-вектор точки

следовательно,

(2.6)

Обозначим

(2.7)

Теперь

(2.8)

Для произвольного сечения, проходящего через ось вращения , будем иметь

(2.9)

Теперь поднимем точку на высоту Н и совместим ее с точкой . Прямоугольные координаты изменятся на

(2.10)

Окончательно, теперь формулы для пересчета геодезических координат и Н в прямоугольные примут вид

(2.11)

Здесь , определенный формулой (2.7) имеет простой геометрический смысл: он равен отрезку нормали, проходящей через точку , от этой точки до точки пересечения ее с осью вращения эллипсоида. Справедливость этого утверждения предлагается доказать самостоятельно.

2.4 Эллипсоидальная система координат

Рассмотрим еще одну систему координат, имеющую приложение в теории гравитационного потенциала:

Эти формулы содержат не три, а четыре переменные величины. Четвертая переменная устанавливает семейство координатных поверхностей -- эллипсоидов. Убедимся в этом. Проделаем простые преобразования:

Разделив первое уравнение на а второе -- на , получим

Очевидно, что при получим уравнение эллипсоида вращения

где

Поскольку , имеем , отсюда параметр имеет простой физический смысл: он равен половине межфокусного расстояния. Понятно, что изменяя при условии , получим семейство софокусных эллипсоидов, играющих важную роль в теории потенциала фигур равновесия Построим теперь семейство координатных поверхностей . Проделаем очевидные преобразования

меняя , получим семейство однополостных гиперболоидов вращения. Обозначив , , получим уравнение гиперболоида в общепринятой форме.

Разделив у на х, получим . Изменяя , получим семейство плоскостей, проходящее через ось Оz. Все три семейства поверхностей образуют взаимно ортогональную систему.