метод трапеций

Пусть нужно найти значение определенного интеграла для непрерывной на отрезке интегрирования достаточно гладкой функции f(x)

Как и в случае построения формулы прямоугольников введем на отрезке [a,b] равномерную сетку с шагом h , представим интеграл в виде суммы интегралов по частичным отрезкам

Построим квадратурную формулу трапеций для интеграла на частичном отрезке из геометрических соображений, т.е. этот интеграл заменяем площадью трапеции

Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать, используя хорошо известную из школьного курса геометрии формулу: . Сумма таких площадей равна:

.

После очевидных преобразований получим: . Таким образом, имеем следующую приближённую формулу вычисления определённого интеграла:

.

Формула (4) носит название формулы трапеций. Ошибку для метода трапеций можно оценить по формуле:

,

где – наибольшее значение второй производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Листинг программы:

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <iostream>

#include <stdlib.h>

#include <cmath>

using namespace std;

double func(double x)

{

double tmp = pow(2.0, 3.0*x);

return tmp;

}

double funcpp(double x)

{

double tmp = 9*pow(2.0, 3.0*x)*M_LN2*M_LN2;

return tmp;

}

int main()

{

double a, b;

double eps;

//a = 0.0, b = 1.0;

cout << " a = ";

cin >> a;

cout << " b = ";

cin >> b;

cout << " eps = ";

cin >> eps;

double maxpp=(funcpp(a)>funcpp(b))? funcpp(a): funcpp(b);

double n = pow(pow((b-a),3.0)*fabs(maxpp)/eps/12,0.5);

double h = (b - a)/((int)n+1);

//cout << "n =" << n << "maxpp = " << maxpp << endl;

//double h = (b - a)/50;

double sum = 0.0;

for (double i=a+h; i<b; i+=h)

sum += func(i);

double result = h*((func(a)+func(b))/2+sum);

cout << "result = " << result << endl;

double eps1 = (b-a)/n*maxpp*h*h;

cout << "eps <= " << eps1 << endl;

fflush(stdin);

getchar();

return 0;

}