Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

S_n = ((2a₁+d(n-1))/2)n

Геометрическая

b_n = b_n-1 × q

b²_n = b_n-1× b_n+1

b_n = b₁×q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) = cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin (a + 2pk) = sin a

tg (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin² a + cos² a =1

ctg a = cosa / sina, a ¹ pn, nÎZ

tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg²a = 1/cos²a, a¹p(2n+1)/2

1+ ctg²a =1/sin²a, a¹ pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y)

x, y, x + y ¹ p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =

= 1-2 sin²a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)

1+ cos a = 2 cos² a/2

1-cosa = 2 sin² a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin² a/2 = (1 - cos a)/2

cos²a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa) = (1-cos a)/sin a

a¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x - y)

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ½(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ½(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)

cos x = (1-tg² 2/x)/ (1+ tg²x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg²x)

sin²a= 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a)

cos²a= 1/(1+tg²a) = ctg²a/ (1+ctg²a)

ctg2a= (ctg²a-1)/ 2ctga

sin3a= 3sina-4sin³a= 3cos²asina-sin³a

cos3a= 4cos³a-3 cosa=

= cos³a-3cosasin²a

tg3a= (3tga-tg³a)/(1-3tg²a)

ctg3a= (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1)

sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)

cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos(arccos a) = a

tg (arctg a) = a

ctg (arcctg a) = a

arcsin (sina) = a; aÎ[-p/2; p/2]

arccos(cos a) = a; aÎ[0; p]

arctg (tg a) = a; aÎ[-p/2; p/2]

arcctg (ctg a) = a; aÎ[ 0; p]

arcsin(sina)=

1)a- 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p- a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cosa) =

1) a-2pk; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a; aÎ[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tga)= a-pk

aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctga) = a-pk

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina= -arcsin (-a)= p/2-arccosa=

= arctg a/Ö(1-a²)

arccosa= p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

= arc ctga/Ö(1-a²)

arctga=-arctg(-a) = p/2 -arcctga=

= arcsin a/Ö(1+a²)

arc ctg a= p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/Ö(1-a²)

arctg a= arc ctg1/a=

= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)

arcsin a+ arccos = p/2

arcctg a+ arctga= p/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m; |m| ½ 1

x = (-1)ⁿ arcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1 sin x = 0

x = p/2 + 2pk x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| ½ 1

x = ± arccos m + 2pk

cos x = 1 cos x = 0

x = 2pk x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x)>(<) a^а(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы: неравенства:

log_af(x) >(<) log _a j(x)

1. a>1, то: f(x) >0

j(x)>0

f(x)>j(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

j(x)>0

f(x)<j(x)

3. log _f(x) j(x) = a

ОДЗ: j(x) > 0

f(x) >0

f(x) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - Ö3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x - Ö3) = 0

....

2. Решения заменой....

3.

sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва: