Задачи к экзамену

Математика

Вопросы к экзамену

1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

2. Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.

3. Разложение определителя по строке и столбцу.

4. Правило Крамера.

5. Матрицы. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение на число,

умножение маТРИЦj обратная матрица).

6. Матричный метод решения систем линейных уравнений,

7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

8. Векторы: правила сложения, умножение на число.

9. Проекции вежторов, свойства.

1 (). Линейно зависимые и линейно независимые снстемы векторов. 1 ]. Базис. Базис на плоскости и в пространстве.

] 2. Скалярное произведение векторов. Свойства.

13. Векторное произведеШlе векторов. Свойства.

14. Смешанное произведение трех пекторов. СnoЙства.

15. Прямоугольные координаты на ПЛОСl\ОСТИ: расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.

16. Уравнения прямой на плоскости: общее (частные случаи), с угловым коэффициеНТОМ_j канонИческое, n отреЗJ<ах на осях, с данным вектором нормали, проходящей через две заданные точки.

17. Угол между двумя прямымн на плоскости, условия параллельности и перпендикулярности.

18. Расстояние от точки до прямой.

19. Кривые второго порядка: J<анонические ураJшения, свойства, эксцентриситет, диреRТРИСЫ.

20. Уравнение плоскости: общее (частные случаи), в отрезках на осях, ПРОХОдЯщей через три точки, с заданным вектором нормали.

21. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярностн двух плоскостей.

22. Расстояние от точки до плоскости.

23. Уравнения прямой в пространстве: векторное, канонические, параметрические, nPОХОдЯщей через две точки.

24. Общие уравнения прямой в пространстве: переход от общих к каноническим

уравнениям.

25. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности.

26. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

27. Взаимное положение прямой и плоскости.

28. Поверхности второго порядка. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Задачи к экзамену

1. линейная алгебра:

1.1. решить систему линейных уравнений методом Крамера; 1.2. решить систему линейных уравнений матричным методом; 1.3. решить систему лннейных уравнений методом Гаусса;

1.4. исследовать совместность и решить систему линейных уравнений; 1.5. найти матрицу, обратную данной;

векторная алгебра:

2.1. определить, при каком значении параметра ДЛI:lна вектора равна заданному числу; 2.2. доказать векторное равенство;

2.3. определнть, является ли заданный четы1ехугольник трапецией;

2.4. определить, является ли заданный четыIехугольник параллелоргаммом; 2.5. вычислить площадь 'греуroльника с задаиными вершинами;

2.6. вычислить площадь треугольника, заданиого сторонами как векторами;

2.7.:вычислить площадь параллелограмма, заданного сторонами как векторами; 2.8. вычислить rтощадь nараллелограмма, сторонами которого являются заданные

векторы;

2.9. вычислить длину вектора в пронзволъном базисе; 2.10. найти угол между векторами в npоизвольном базисе;

2.11. найти npоекцшо вектора на вектор в декартовом прямоугольном базисе; 2.12. найти четвертую вершину параллелограмма по трем заданным вершинам;

2.13. доказать комnланарность трех векторов и разложить один из них ПО двум другим; 2.14. разложить заданный вектор по трем некомnланарным векторам в произвольном

базисе;

2.15. ВЫЧИСЛИIъ дливы диагоналей параллелограмма в произвольном базисе; 2.16. вычислить объем пирамиды с заданными вершинамн;

2.17. вычислить объем параллелепипеда;

3. аналитическая геометрия на плоскости:

3.1. найти значение параметра, прн котором заданная прямая удалена·от начала координат на задаННQе расстояние;

3.2. написать уравнения сторон квадрата с заданной стороной, приняв за оси координат его диагонали;

3.3. написать уравнения сторон ромба;

3.4. написать уравнения диагоналей I<ВaдpaTa, образованного осями координат и двумя

заданными прямыми;

3.5. найти прямой угол треугольника, заданного уравнениями сторон; 3.6. написать уравнения сторон треУГОЛЬШlКа;

3.7. определить, могут ли заданные прямые служить сторонами ромба;

3.8. найти площадь треугольника, отсекаемого от начала координат заданной прямой;

4. аналитическая геометрия в пространстве: