Системы линейных уравнений и методы их решений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x ₁, x ₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a ₁₁, a ₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b ₁, b ₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b ₁ = b ₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c ₁, c ₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c ₁⁽¹⁾, c ₂⁽¹⁾, …, c_n ⁽¹⁾ и c ₁⁽²⁾, c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Метод итерации

Пусть дана линейная система (13). Введя в рассмотрение матрицы (15), систему (13) коротко можно записать в виде матричного уравнения (14). Предполагая, что диагональные коэффициенты a_ij не равны 0 (i = 1, 2, …, n),

разрешим первое уравнение системы (13) относительно х ₁, второе - относительно х ₂ и т. д. Тогда получим эквивалентную систему

(18)

где

при i не равно j

и  _ij = 0 при i = j (i, j = 1, 2, …, n).

Введя матрицы

и ,

систему (18) можно записать в матричной форме x =  +  x,

а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле

Напишем формулы приближений в развернутом виде:

(19')

Приведем достаточное условие сходимости метода итераций.

Теорема: Процесс итерации для приведенной линейной системы (18) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы  меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (19) достаточное условие есть

(20)

Следствие 1. Процесс итерации для системы (18) сходится, если:

1) < 1 (m- норма или неопределенная норма)

или

2) < 1 (l- норма или норма L 1)

или

3) < 1 (k- норма или Евклидова норма).

Следствие 2. Для системы (13) процесс итерации сходится, если выполнены неравенства:

1. или 2. ,

где штрих у знака суммы означает, что при суммировании пропускаются значения i = j, т. е. сходимость имеет место, если модули диагональных элементов матрицы А системы (13) или для каждой строки превышают сумму модулей недиагональных элементов этой строки, или же для каждого столбца превышают сумму модулей недиагональных элементов этого столбца.

Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x ₁, x ₂, …, x_{i - 1}.

Пусть получена эквивалентная система (18). Выберем произвольно начальные приближения корней . Далее, предполагая, что k -ые приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k + 1)-е приближения корней по формулам:

(22)

Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.