Системы векторов. Ранг системы векторов. Ранг матрицы

Линейно-зависимые и линейно-независимые системы векторов

Пусть имеем векторное пространство V и систему векторов A={ } (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры α₁ = α₂ = α₃... = α _k = 0, то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и ). Если хотя б один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной.

• Определение 1: система векторов A называется линейно-независимой, если только тривиальная линейная комбинация векторов системы равна , (т.е. )
• Определение 2: система векторов A называется линейно-зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная .

Упражнения и примеры

На практике, чтобы установить линейную зависимость системы векторов, нужно, зачастую установить истинность высказывания

1. Покажем, что A={ }-линейнонезависимая система.

Решение: α(1,0)+β(0,1)=(0,0) ↔ (α,0)+(0,β)=(0,0) ↔ α=0, β=0, следовательно, A линейно-независимая система.

1. Покажем, что A={ } - линейно-зависимая система.

Решение. Найдём нетривиальную комбинацию, равную .

, т.е.

1. Элементами векторного пространства V являются линейные функции (т.е.вида y=kx+b). Установите, являются ли линейно-зависимыми (-независимыми) следующие системы: 1) A=(y=2x+3, y=x-√2) 2) B=(y=2x+12, y=x-√3, y=x+6)